XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LỚP 10

  -  

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là khái niệm các em đã làm quen ở những lớp học trước. Tuy nhiên, cũng như các môn học khác, kiến thức ở 12 sẽ có các dạng toán khó hơn phức tạp hơn các lớp trước.

Bạn đang xem: Xét tính đơn điệu của hàm số lớp 10


Ngoài những bài tập xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể, tường minh thì dạng toán xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập số thực R hay trên một khoảng cho trước có tham số sẽ khó hơn. Để giải các dạng bài tập này, chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

I. Kiến thức về tính đơn điệu của hàm số cần nhớ.

1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).

- Hàm số y = f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 2 ⇒ f(x1) 2).

- Hàm số y = f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 2 ⇒ f(x1) > f(x2).

• Hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

• Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f"(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f"(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f"(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f"(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

• Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Xem thêm: Vì Sao Nói Atp Là Đồng Tiền Năng Lượng Của Tế Bào, Tại Sao Nói Atp Là Đồng Tiền Năng Lượng

- Nếu f"(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K

- Nếu f"(x) II. Các dạng bài tập xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số

° Xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể (không có tham số)

* Phương pháp:

- Bước 1: Tìm Tập Xác Định, Tính f"(x)

- Bước 2: Tìm các điểm tại đó f"(x) = 0 hoặc f"(x) không xác định.

- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó đăng dần và lập bảng biến thiên

- Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a)

b)

c)

° Lời giải:

a)

- Tập xác định : D = R

- Ta có: y" = 3 – 2x

- Cho y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x = 3/2.

- Tại x = 3/2 ⇒ y =25/4

- Ta có bảng biến thiên:

*

- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2) và nghịch biến trong khoảng (3/2;+∞).

b)

- Tập xác định: D = R

- Ta có: y" = x2 + 6x - 7

- Cho y" = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -7

- Tại x = 1 ⇒ y = (-17)/3; Tại x = -7 ⇒ y = 239/3.

- Ta có bảng biến thiên:

*

- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞;-7) và (1;+∞); nghịch biến trong khoảng (-7;1).

c)

- Tập xác định: D = R

- Ta có: y"= 4x3 – 4x.

- Cho y" = 0 ⇔ 4x3 – 4x = 0 ⇔ 4x(x – 1)(x + 1) = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1

- Tại x = 0 ⇒ y = 3; Tại x = 1 ⇒ y = 2; Tại x = -1 ⇒ y = 2

- Ta có bảng biến thiên:

*

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12): Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a) b)

*

c) d)

*

° Lời giải:

a)

- Tập xác định: D = R {1}

- Ta có: 

*

 Vì y" không xác định tại x = 1

- Ta có bảng biến thiên sau:

*

- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞).

b) Học sinh tự làm

c)

- Tập xác định: D = (-∞;-4>∪<5;+∞)

- Ta có: 

*

- Cho 

*

 y" không xác định tại x = -4 và x = 5

- Ta có bảng biến thiên sau

*

- Kết luận: Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞;-4); đồng biến trong khoảng (5;+∞).

d) Học sinh tự làm

° Xét tính đơn điệu của hàm số có tham số m

* Hàm đồng biến, nghịch biến trên TẬP XÁC ĐỊNH

* Phương pháp:

Đối với hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d; (a≠0).

+ Tính f"(x) =3ax2 + 2bx + c, khi đó:

- Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R 

*

- Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R

*
 
*

- Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R.

Xem thêm: Thuyết Electron Định Luật Bảo Toàn Điện Tích Bài Tập, Bài 2: Thuyết Electron

* Ví dụ 2: Cho hàm số:

*
. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.