TÌM SỐ NGUYÊN TỐ P ĐỂ P + 2, P + 6, P + 8, P + 14 CŨNG LÀ SỐ NGUYÊN TỐ
Trắc nghiệm Toán 6 kết nối tri thức có đáp án và lời giải chi tiết 100 bài tập về Số nguyên tố. Hợp số
Câu hỏi 1 : Tổng của 3 số nguyên tố là 578. Tìm ra số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó.
Bạn đang xem: Tìm số nguyên tố p để p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 cũng là số nguyên tố
Lời giải chi tiết:
Hướng dẫn giải chi tiết:
Tổng 3 số nguyên tố là 578 là số chẵn, nên trong 3 số nguyên tố có ít nhất 1 số là số chẵn.
Ta đã biết số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố có tổng là 578 là số 2.
Câu hỏi 2 : Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 13675? Hay 1899966447 ? Vì sao?
A 13675 là tổng của 2 số nguyên tố.189996647 không là tổng của 2 số nguyên tố.B 13675 và 189996647 không là tổng của 2 số nguyên tố.C 13675 và 189996647 là tổng của 2 số nguyên tố.D 13675 không là tổng của 2 số nguyên tố.
189996647 là tổng của 2 số nguyên tố.
Phương pháp giải:
Phương pháp:
- Áp dụng kiến thức tổng của 2 số nguyên là số lẻ thì 1 trong 2 số đó phải là số chẵn.
- Áp dụng kiến thức số nguyên tố chẵn nhỏ nhất là 2.
- Áp dụng dấu hiệu chia hết của 1 số. VD: dấu hiệu số chia hết cho 11 là tổng các chữ số hàng lẻ - tổng các chữ số hàng chẵn(hoặc ngược lại) chia hết cho 11.
Lời giải chi tiết:
Hướng dẫn giải chi tiết:
- Tổng của 2 số nguyên tố không thể bằng 13675 và 1899966447 được. Vì nếu có tồn tại 2 số nguyên tố có tổng là 13675 và 1899966447 (2 số này đều là số lẻ), thì 1 số nguyên tố chắc chắn là số chẵn (mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2).
Ta có:
\(\begin{align} & 13675-2=13673:11=1243 \\ & 1899966447-2=1899966445\vdots 5 \\ \end{align}\)
Như vậy 13675 và 189996647 không là tổng của 2 số nguyên tố.
Câu hỏi 3 : Tìm hai số tự nhiên sao cho tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố.
A\(1\) và \(2.\)
B\(1\) và \(3.\)
C\(2\) và \(3.\)
D\(2\) và \(5.\)
Phương pháp giải:
+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
+) Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất
+) Số 0 và số 1 không phải số nguyên tố.
Lời giải chi tiết:
Vì tích của hai số tự nhiên là số nguyên tố nên một số phải là 1 (vì nếu cả hai số khác 1 thì tích hai số đó ra là một hợp số).
Gọi số còn lại là \(a,\,\,a\) là số nguyên tố.
Theo bài ra ta có: \(1 + a\) cũng là số nguyên tố. Xét hai trường hợp:
- TH1: Nếu \(1 + a\) là số lẻ thì a là số chẵn. Do a là số nguyên tố nên \(a = 2\)
- TH2: Nếu \(1 + a\) là số chẵn thì \(1 + a = 2\) (Vì \(1 + a\) là số nguyên tố) \( \Rightarrow a = 1\) ( loại vì 1 không phải số nguyên tố)
Vậy hai số tự nhiên phải tìm là \(1\) và \(2.\)
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 4 : Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố.
A\(2\)
B\(3\)
C\(5\)
D\(7\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
+) Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d,\,\,e\) là các số nguyên tố \(\left( {d > e} \right)\)
Theo bài ra ta có: \(a = b + c = d - e\)
\( \Rightarrow a > 2 \Rightarrow a\) là số nguyên tố lẻ.
\( \Rightarrow b + c = d - e\) là số lẻ.
\( \Rightarrow d,\,\,e\) phải có một trong hai số là số chẵn.
Mà \(d,\,\,e\) là hai số nguyên tố \( \Rightarrow e = 2\) (vì \(2\) là số nguyên tố chẵn duy nhất).
\( \Rightarrow d\) là số nguyên tố lẻ.
Vì \(b + c\) cũng là số lẻ \( \Rightarrow b,\,\,c\) phải có một số chẵn và một số lẻ.
Giả sử \(c\) chẵn \( \Rightarrow c = 2\) (vì \(2\) là số nguyên tố chẵn duy nhất).
\( \Rightarrow c = e = 2\)
\( \Rightarrow a = b + 2 = d - 2 \Rightarrow d = b + 4\)
Vậy ta cần tìm số nguyên tố \(b\) sao cho \(b + 2\) và \(b + 4\) cùng là số nguyên tố
+) Với \(b = 2\) (loại, vì \(b\) là số lẻ)
+) Với \(b = 3 \Rightarrow b + 2 = 3 + 2 = 5\) là số nguyên tố
\(b + 4 = 3 + 4 = 7\) là số nguyên tố
+) Với \(b > 3 \Rightarrow b = 3k + 1;b = 3k + 2\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)
\(b = 3k + 1\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow b + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3\left( {k + 1} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên là hợp số.
\(b = 3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3\left( {k + 2} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên là hợp số
\( \Rightarrow b > 3\) (loại)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow b = 3\\ \Rightarrow a = b + c = 3 + 2 = 5.\end{array}\)
Vậy số nguyên tố phải tìm là \(5.\)
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 5 : Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\) và \(q\) sao cho các số \(7p + q\) và \(pq + 11\) cũng là các số nguyên tố.
A\(p = 2\) và \(q = 3\) hoặc \(p = 3\) và \(q = 2.\)
B\(p = 2\) và \(q = 5\) hoặc \(p = 5\) và \(q = 2.\)
C\(p = 3\) và \(q = 5\) hoặc \(p = 5\) và \(q = 3.\)
D\(p = 5\) và \(q = 7\) hoặc \(p = 7\) và \(q = 5.\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
+) Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
Lời giải chi tiết:
Nếu \(pq + 11\) là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ (Vì là số nguyên tố lớn hơn \(2\)).
\( \Rightarrow \) Ít nhất một trong các số \(p\) và \(q\) phải chẵn, tức là: \(p = 2\) hoặc \(q = 2.\)
a) Giả sử: \(p = 2 \Rightarrow 7p + q = 7.2 + q = 14 + q\)
\( \Rightarrow pq + 11 = 2q + 11\)
+) Nếu \(q = 2 \Rightarrow 14 + q = 14 + 2 = 16\) là hợp số.
+) Nếu \(q = 3 \Rightarrow 14 + q = 14 + 3 = 17\) và \(6 + 11 = 17\) đều là các số nguyên tố.
Nếu \(q\) là số nguyên tố lớn hơn 3 thì nó không chia hết cho \(3 \Rightarrow q = 3k + 1;\,\,\,\,q = 3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)
Với \(q = 3k + 1 \Rightarrow 14 + q = 14 + 3k + 1 = 3k + 15 = 3\left( {k + 5} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên là hợp số
Với \(q = 3k + 2 \Rightarrow 2q + 11 = 2\left( {3k + 2} \right) + 11 = 6k + 15 = 3\left( {2k + 5} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên là hợp số
\( \Rightarrow p = 2\) và \(q = 3.\)
b) Giả sử: \(q = 2\).
Lập luận tương tự a) ta được \(p = 3\) và \(q = 2.\)
Vậy các số nguyên tố phải tìm là: \(p = 2\) và \(q = 3\) hoặc \(p = 3\) và \(q = 2.\)
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 6 : a) Cho \(a\) là số tự nhiên lẻ, \(b\) là một số tự nhiên. CMR: Các số \(a\) và \(ab + 4\) nguyên tố cùng nhau.
b) Cho ba số nguyên tố lớn hơn \(3,\) trong đó số sau lớn hơn số trước là \(3\) đơn vị. CMR: \(d\) chia hết cho \(6.\)
Phương pháp giải:
Dựa vào khái niệm số nguyên tố cùng nhau:
Hai số nguyên tố được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng có ước chung lớn nhất bằng 1
Lời giải chi tiết:
a) Giả sử \(a\) và \(ab + 4\) cùng chia hết cho một số tự nhiên \(d\,\,\,\,\left( {d \ne 0} \right)\)
Như vậy thì \(ab \vdots d \Rightarrow \left( {ab + 4} \right) - ab \vdots d \Rightarrow 4\, \vdots \,d\)
\( \Rightarrow d \in \left\{ {1;2;4} \right\}\)
Nhưng \(a\) không chia hết cho \(2\) và \(4\) vì \(a\) là số lẻ.
\( \Rightarrow d\) chỉ có thể bằng \(1.\)
\( \Rightarrow \) Các số \(a\) và \(ab + 4\) nguyên tố cùng nhau (đpcm)
b) Các số nguyên tố lớn hơn \(3\) có dạng: \(3k + 1;3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)
Có ba số mà chỉ có hai dạng nên tồn tại hai số thuộc cùng một dạng
\( \Rightarrow \) Hiệu của chúng là \(d\) hoặc \(2d\) chia hết cho \(3.\)
\( \Rightarrow d\) chia hết cho \(3.\)
Mặt khác \(d\) chia hết cho \(2\) vì \(d\) là hiệu của hai số lẻ.
Vậy \(d\) chia hết cho \(6.\)
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 7 : Tìm số tự nhiên \(k\) sao cho \(k + 1,k + 77,k + 99\) đều là số nguyên tố.
A\(k = 1.\)
B\(k = 2.\)
C\(k = 3.\)
D\(k = 4.\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
Lời giải chi tiết:
Với \(k \in \mathbb{N}\) thì \(k\) có dạng: \(3t,\,\,\,3t + 1,\,\,3t + 2\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)
Nếu \(k = 3t\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow k + 99 = 3t + 99 = 3\left( {t + 33} \right)\,\, \vdots \,\,3\)
Nếu \(k = 3t + 1\,\,\left( {t \in N} \right) \Rightarrow k + 77 = 3t + 1 + 77 = 3t + 78 = 3\left( {t + 26} \right)\,\, \vdots \,\,3\)
Nếu \(k = 3t + 2\left( {t \in N} \right) \Rightarrow k + 1 = 3t + 2 + 1 = 3t + 3 = 3\left( {t + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)
Do đó trong ba số \(k + 1,\,\,\,k + 77,\,\,\,k + 99\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) luôn có một số chia hết cho \(3\)
Khi đó, để \(k + 1,\,\,k + 77,\,\,k + 99\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) cùng là số nguyên tố thì phải có một số bằng 3
Mà \(3
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 8 : Tìm số nguyên tố \(p\) sao cho \(2{p^2} - 3,\,\,2{p^2} + 3\) đều là số nguyên tố.
A\(p = 2,\,\,p = 3\)
B\(p = 2,\,\,p = 5\)
C\(p = 3,\,\,p = 5\)
D\(p = 3,\,\,p = 7\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
Lời giải chi tiết:
Với \(p = 2 \Rightarrow 2{p^2} - 3 = {2.2^2} - 3 = 5;2{p^2} + 3 = {2.2^2} + 3 = 11\) đều là số nguyên tố
Với \(p = 3 \Rightarrow 2{p^2} - 3 = {2.3^2} - 3 = 15\) không là số nguyên tố
Với \(p = 5 \Rightarrow 2{p^2} - 3 = {2.5^2} - 3 = 47;\,\,\,2{p^2} + 3 = {2.5^2} + 3 = 53\) đều là số nguyên tố
Với \(p > 5 \Rightarrow p = 5k \pm 1;p = 5k \pm 2\left( {k \in N} \right)\)
+) Với \(p = 5k \pm 1 \Rightarrow 2{p^2} + 3 = 2{\left( {5k \pm 1} \right)^2} + 3 = 50{k^2} \pm 20k + 5 > 5\) và chia hết cho 5 nên là hợp số
+) Với \(p = 5k \pm 2 \Rightarrow 2{p^2} - 3 = 2{\left( {5k \pm 2} \right)^2} - 3 = 50{k^2} \pm 40k + 5 > 5\) và chia hết cho 5 nên là hợp số
Vậy \(p = 2,\,\,p = 5\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn B.
Xem thêm: Hướng Dẫn Giải Bài 1 Trang 68 Sgk Toán 9 Tập 2, 3 Trang 68, 69 Sgk Toán 9 Tập 2
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 9 : Tìm số nguyên tố nhỏ hơn \(200,\) biết rằng số đó chia cho \(60\) thì số dư là hợp số.
A \(137.\)B \(157.\)C \(113.\)D \(109.\)Đáp án: D
Phương pháp giải:
+) Nếu phép chia số \(a\) cho số \(b\) được thương là \(q\) và số dư là \(r\) thì ta viết: \(a = b.q + r\,\,\,\,\) \(\left( {a,\,\,b,\,\,q,\,\,r \in \mathbb{N};\,\,\,b \ne 0;\,\,r
Lời giải chi tiết:
Gọi số nguyên tố cần tìm là \(p\,\,\,\left( {p
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 10 : a) Cho \(n\) là một số không chia hết cho \(3.\) Chứng minh rằng: \({n^2}\) chia \(3\) dư \(1.\)
b) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3.\) Hỏi \({p^2} + 2003\) là số nguyên tố hay hợp số?
Phương pháp giải:
+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\) và có nhiều hơn \(2\) ước.
+) Để chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\) là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\) và \(a.\)
+) Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích: \(a\,\, \vdots \,\,m \Rightarrow ka\,\, \vdots \,\,m\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right).\)
Lời giải chi tiết:
a) Với: \(n = 3k + 1\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)
\( \Rightarrow {n^2} = \left( {3k + 1} \right)\left( {3k + 1} \right) = 3k\left( {3k + 1} \right) + 3k + 1.\)
\( \Rightarrow {n^2}\) chia 3 dư 1 ( Vì \(3k\left( {k + 1} \right) \vdots 3;3k \vdots 3\))
Với: \(n = 3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {n^2} = \left( {3k + 2} \right)\left( {3k + 2} \right) = 3k\left( {3k + 2} \right) + 2\left( {3k + 2} \right)\\ = 3k\left( {3k + 2} \right) + 6k + 4\\ = 3k\left( {3k + 2} \right) + 3\left( {2k + 1} \right) + 1\end{array}\)
Vì \(3k\left( {3k + 2} \right)\,\, \vdots \,\,3,\,\,\,3\left( {2k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)
\( \Rightarrow {n^2}\) chia \(3\) dư \(1.\)
b) Vì \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\) nên \(p\) không chia hết cho \(3.\)
Vậy \({p^2}\) chia cho \(3\) dư \(1\) tức là \({p^2} = 3k + 1 \Rightarrow {p^2} + 2003 = 3k + 1 + 2003 = 3k + 2004\,\, \vdots \,\,3\)
(Vì \(3k\,\, \vdots \,\,3;\,\,\,2004\,\, \vdots \,\,3\)).
Vậy \({p^2} + 2003\) là hợp số.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 11 : Chứng minh rằng:
a) Số \(17\) không viết được dưới dạng tổng của ba hợp số khác nhau.
b) Mọi số lẻ lớn hơn \(17\) đều viết được dưới dạng tổng của ba hợp số khác nhau.
Phương pháp giải:
+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\) và có nhiều hơn \(2\) ước.
+) Để chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\) là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\) và \(a.\)
Lời giải chi tiết:
a) Tổng của ba hợp số khác nhau nhỏ nhất bằng: \(4 + 6 + 8 = 18\)
\( \Rightarrow \) Số \(17\) không viết được dưới dạng tổng của ba hợp số khác nhau
b) Gọi \(2k + 1\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) là một số lẻ bất kì lớn hơn \(17.\)
Ta luôn có \(2k + 1 = 4 + 9 + \left( {2k - 12} \right)\)
Cần chứng minh \(2k - 12\) là hợp số chẵn lớn hơn \(4.\)
Ta có: \(2k - 12 = 2\left( {k - 6} \right) > 2\) và chia hết cho \(2\) nên \(2k - 12\) là hợp số.
Vì \(2k + 1 > 17 \Rightarrow 2k > 16 \Rightarrow k > 8\)
\( \Rightarrow 2k - 12 > 16 - 12 = 4\)
Vậy mọi số lẻ lớn hơn \(17\) đều viết được dưới dạng tổng của ba hợp số khác nhau (đpcm).
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 12 : Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3.\)
a) Chứng minh rằng: \(p\) có dạng \(6k + 1\) hoặc \(6k + 5\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right).\)
b) Biết \(8p + 1\) cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng: \(4p + 1\) là hợp số.
Phương pháp giải:
+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\) và có nhiều hơn \(2\) ước.
+) Để chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\) là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\) và \(a.\)
+) Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích: \(a\,\, \vdots \,\,m \Rightarrow ka\,\, \vdots \,\,m\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right).\)
Lời giải chi tiết:
a) Mọi số tự nhiên lớn hơn \(3\) khi chia cho \(6\) chỉ có thể xảy ra một trong \(6\) trường hợp: dư \(0,\) dư \(1,\) dư \(2,\) dư \(3,\) dư \(4\) và dư \(5.\)
+) Nếu p chia \(6\) dư \(0\) thì \(p = 6k \Rightarrow p\) là hợp số.
+) Nếu p chia \(6\) dư \(1\) thì \(p = 6k + 1.\)
+) Nếu p chia \(6\) dư \(2\) thì \(p = 6k + 2 = 2\left( {3k + 1} \right) > 2\) và chia hết cho \(2\) nên \(p\) là hợp số.
+) Nếu p chia \(6\) dư \(3\) thì \(p = 6k + 3 = 3\left( {2k + 1} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên \(p\) là hợp số.
+) Nếu p chia \(6\) dư \(4\) thì \(p = 6k + 4 = 2\left( {3k + 2} \right) > 2\) và chia hết cho \(2\) nên \(p\) là hợp số.
+) Nếu p chia \(6\) dư \(5\) thì \(p = 6k + 5\)
Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn \(3\) chia cho \(6\) chỉ có thể dư \(1\) hoặc dư \(5,\) tức là \(p = 6k + 1\) hoặc \(p = 6k + 5\)
b) Nếu \(p\) có dạng \(p = 6k + 1 \Rightarrow 8p + 1 = 8\left( {6k + 1} \right) + 1 = 48k + 9 = 3\left( {16k + 3} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên số này là hợp số.
\( \Rightarrow p\) không có dạng \(p = 6k + 1\) mà có dạng \(p = 6k + 5 \Rightarrow 4p + 1 = 4\left( {6k + 5} \right) + 1 = 24k + 21 = 3\left( {8k + 7} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên là số này là hợp số.
Vậy \(4p + 1\) là hợp số (đpcm).
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 13 : Cho \(p,\,\,q\) là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: \(\frac{{p + q}}{2}\) là hợp số.
Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất: Số tự nhiên nằm giữa hai số nguyên tố lẻ liên tiếp thì phải là hợp số.
Lời giải chi tiết:
Từ \(p,\,\,q\) là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nên \(\frac{{p + q}}{2}\) là số tự nhiên.
Do vai trò của \(p,\,\,q\) như nhau nên giả sử: \(p
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 14 : Chứng minh rằng \(2n\) và \(2n + 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau. \(\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\)
Phương pháp giải:
+) Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của hai số đó.
+) Suy ra, các số đó đều chia hết cho \(d\). Lập luận để chứng minh \(d = 1\).
Áp dụng \(\left\{ \begin{array}{l}a \vdots m\\b \vdots m\end{array} \right. \Rightarrow a \pm b \vdots m\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(UCLN\left( {2n,2n + 1} \right) = d\) với \(d \in {\mathbb{N}^*}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n \vdots d\\2n + 1 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2n + 1} \right) - 2n \vdots d \Rightarrow 2n + 1 - 2n \vdots d \Rightarrow 1 \vdots d\\ \Rightarrow d \in U\left( 1 \right) = \left\{ 1 \right\} \Rightarrow d = 1\\ \Rightarrow \left( {2n,2n + 1} \right) = 1\end{array}\)
Vậy \(2n\) và \(2n + 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 15 : Chứng minh rằng \(2n + 5\) và \(4n + 12\) là hai số nguyên tố cùng nhau, với \(n \in \mathbb{N}\).
Phương pháp giải:
+) Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của hai số đó.
+) Suy ra, các số đó đều chia hết cho \(d\). Lập luận để chứng minh \(d = 1\).
Áp dụng thêm \(\left\{ \begin{array}{l}a \vdots m\\b \vdots m\end{array} \right. \Rightarrow a \pm b \vdots m\) và \(a \vdots b \Rightarrow k.a \vdots b\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của \(2n + 5\) và \(4n + 12\) với \(n \in \mathbb{N}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2n + 5 \vdots d\\4n + 12 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {2n + 5} \right) \vdots d\\4n + 12 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4n + 10 \vdots d\\4n + 12 \vdots d\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {4n + 12} \right) - \left( {4n + 10} \right) \vdots d\)
\( \Rightarrow 4n + 12 - 4n - 10 \vdots d\)
\( \Rightarrow 2 \vdots d\)
\( \Rightarrow d \in U\left( 2 \right) = \left\{ {1;2} \right\}\)
Vì \(2n\) chẵn nên \(2n + 5\) là số tự nhiên lẻ.
Với \(d = 2\) thì \(2n + 5 \vdots 2\) (Vô lý) \( \Rightarrow d = 2\) (loại)
\( \Rightarrow d = 1\)
\( \Rightarrow \)\(2n + 5\) và \(4n + 12\) là hai số nguyên tố cùng nhau với \(n \in \mathbb{N}\).
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 16 : Chứng minh rằng hai số tự nhiên lẻ liên tiếp nguyên tố cùng nhau.
Lời giải chi tiết:
Hai số tự nhiên lẻ liên tiếp có dạng \(2n + 1\) và \(2n + 3\) với \(n \in \mathbb{N}\).
Gọi \(d = UCLN\left( {2n + 3,2n + 1} \right)\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n + 3 \vdots d\\2n + 1 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2n + 3} \right) - \left( {2n + 1} \right) \vdots d \Rightarrow 2 \vdots d\)
\( \Rightarrow d \in U\left( 2 \right) = \left\{ {1;2} \right\}\)
Với \(d = 2\)(loại) do \(2n + 1\) và \(2n + 3\) là hai số tự nhiên lẻ.
\( \Rightarrow d = 1\)
\( \Rightarrow \)\(2n + 1\) và \(2n + 3\) là hai số nguyên tố cùng nhau với \(n \in \mathbb{N}\).
Vậy hai số tự nhiên lẻ liên tiếp nguyên tố cùng nhau.
Đáp án - Lời giải
Lời giải chi tiết:
Gọi \(d = UCLN\left( {3n + 2,5n + 3} \right)\) với \(n \in \mathbb{N}\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3n + 2 \vdots d\\5n + 3 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5.\left( {3n + 2} \right) \vdots d\\3.\left( {5n + 3} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}15n + 10 \vdots d\\15n + 9 \vdots d\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right) \vdots d\)
\( \Rightarrow 15n + 10 - 15n - 9 \vdots d\)
\( \Rightarrow 1 \vdots d\)
\( \Rightarrow d \in U\left( 1 \right) = \left\{ 1 \right\}\)
\( \Rightarrow d = 1\)
Suy ra, \(3n + 2\) và \(5n + 3\) là hai số nguyên cùng nhau.
Vậy \(\frac{{3n + 2}}{{5n + 3}}\) là phân số tối giản với mọi số tự nhiên \(n\).
Đáp án - Lời giải
Lời giải chi tiết:
Giả sử phản chứng, \(ab\) và \(a - b\) không phải là hai số nguyên tố cùng nhau.
Suy ra, \(ab\) và \(a - b\) có ít nhất một ước chung là số nguyên tố.
Gọi \(d\) là ước nguyên tố chung của \(ab\) và \(a - b\).
Ta có : \(\left( {ab;a - b} \right) = d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab \vdots d\\a - b \vdots d\end{array} \right.\)
Với \(d\) là số nguyên tố và \(ab \vdots d\) suy ra \(a \vdots d\) hoặc \(b \vdots d\).
Xem thêm: Review Review Sách Hoàn Thành Mọi Việc Không Hề Khó (Tái Bản)
Giả sử, \(\left\{ \begin{array}{l}a \vdots d\\a - b \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow b \vdots d \Rightarrow \)\(d\) là ước chung của \(a\) và \(b\) (mâu thuẫn với giả thiết \(a{;^{}}b\) là hai số nguyên tố cùng nhau).
