Tìm Gtln Gtnn Của Hàm Số Lớp 12

  -  

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền, các phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đi kèm với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.

Bạn đang xem: Tìm gtln gtnn của hàm số lớp 12


1. Video bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

2.2. Các PP tìm GTLN và GTNN của hàm số

3. Bài tập minh hoạ

3.1. Dạng bài tìm GTLN và GTNN của HS trên miền D

3.2. Dạng bài tìm GTLN và GTNN của HS trên một đoạn

4. Luyện tập bài 3 Toán 12

4.1. Trắc nghiệm GTLN và GTNN của hàm số

4.2. Bài tập SGK & Nâng caoBài 3 Chương 1

5. Hỏi đáp về GTLN và GTNN


Cho hàm số\(y=f(x)\)xác định trên tập D.

M được gọi là GTLN của \(f(x)\)trên D nếu:\(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M\\ \exists x_0, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\).

m được gọi là GTNN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} m\leq f(x), \forall x\in D\\ \forall x_0\in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\).


a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số\(y=f(x)\)xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\)liên tục trên một đoạn\(.\)

Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\)(i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f"(x_i)=0\)hoặc\(f"(x_i)\)không xác định.

Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\)(i = 1, 2, . . . , n).

Khi đó :

*


Bài tập minh họa


3.1. Dạng 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D


Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) Hàm số\(y=x^3-3x^2-9x+5\).

b) Hàm số\(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1},x\in(1;3>.\)

Lời giải:

a) Hàm số\(y=x^3-3x^2-9x+5\).

TXĐ:\(D=\mathbb{R}.\)

\(y"=3x^2-6x-9.\)

\(y" = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

*

Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Xem thêm: Tải Game Cá Lớn Cá Bé 7 Online Y8, Game Cá Lớn Nuốt Cá Bé

b)Xét hàm số\(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1}\)xác định trên\((1;3>.\)

​\(y"=\frac{x^2-2x-5}{(x+1)^2}\)

\(y" = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right>\\ x = 1 - \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right> \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

*

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất\(\mathop {Min}\limits_{x \in (1;3>} y = 9\), Hàm số không có giá trị lớn nhất.


3.2. Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn


Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) Hàm số\(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\)trên đoạn\(\left< { - 1;0} \right>\).

b) Hàm số\(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)trên đoạn\(\left< { - \frac{1}{2};1} \right>\).

c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).

Lời giải:

a) Hàm số\(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\)xác định trên đoạn\(\left< { - 1;0} \right>\).

\({f^/}\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 2\)

\({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x - 2 = 0\)

Ta có:\(f\left( { - 1} \right) = \frac{{11}}{3};f\left( 0 \right) = 1\).

Vậy:\(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left< { - 1;0} \right>} = \frac{{11}}{3}\);\(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left< { - 1;0} \right>} = 1\)

b)Hàm số\(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)xác định trên đoạn\(\left< { - \frac{1}{2};1} \right>\)

\({f^/}\left( x \right) = - \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}

Ta có:\(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0;f\left( 1 \right) = - 3\)

Vậy:\(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left< { - \frac{1}{2};1} \right>} = 0\);\(\mathop {min f\left( x \right)}\limits_{\left< { - \frac{1}{2};1} \right>} = - 3\)

c)Hàm số\(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).

TXĐ:\(D=\mathbb{R}\)

Ta có:\(f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2 = - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 2co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 3\)

Đặt: \(t = {\cos ^2}x\)suy ra\(t \in \left< { - 1;1} \right>;\forall x \in \mathbb{R}\).

Xét hàm số: \(g\left( t \right) = - {t^2} - 2t + 3\)trên đoạn \(<-1;1>\).

Ta có: \({g^/}\left( t \right) = - 2t - 2\)

\({g^/}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)

Tính:\(g\left( { - 1} \right) = 4;g\left( 1 \right) = 0\).

Xem thêm: Trung Khuyển Là Gì - Thuật Ngữ Dùng Trong Đam Mỹ

Vậy:\(\max f(x) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{<}} - 1;1>} g(t) = 4\);\(\min f(x) = \mathop {\min }\limits_{{\rm{<}} - 1;1>} g(t) = 0\).