Rút Gọn Biểu Thức Lượng Giác

  -  
Phân dạng Bài tập công thức lượng giác

1. Lý thuyết công thức lượng giác

1.1. Khái niệm các giá bán trị lượng giác

Sử dụng đường tròn lượng giác, chúng ta có các khái niệm cùng kết quả sau:

*

*

*

1.3. Giá trị lượng giác của những cung gồm liên quan đặc biệt (cung liên kết)

Giá trị lượng giác của các cung bao gồm tương quan cos đối – sin bù – phụ chéo – khác $ pi $ tan; hơn nhau ở tuổi 90…; hơn kỉm chẵn $ pi $ thì sin-cos…

STTHai cungGọi là nhì cungCông thứcCách nhớ
1$left( -a ight)$ cùng $a$Đối nhau$cos (-a)=cos a$

$sin (-a)=-sin a$

$ an (-a)=- an a$

$cot (-a)=-cot a$

Cos đối
2$left( pi -a ight)$ và$a$Bù nhau$sin (pi -a)=sin a$

$cos(pi -a)=-cos a$

$ ã (pi -a)=- ã a$

$cot (pi -a)=-cot a$

Sin bù
3$left( fracpi 2-a ight)$ với $a$

Phụ nhau$sin left( fracpi 2-a ight)=cos a$

$cosleft( fracpi 2-a ight)=sin a$

$ ung left( fracpi 2-a ight)=cot a$

$cot left( fracpi 2-a ight)=chảy a$

Phụ chéo
4$left( pi +a ight)$ và $a$Sai không giống $pi $$ ã (pi +a)= an a$

$cot (pi +a)=cot a$

$sin (pi +a)=-sin a$

$cos(pi +a)=-cos a$

Khác $pi $ tung, cot
5$left( fracpi 2+a ight)$ và $a$Hơn $fracpi 2$$sin left( fracpi 2+a ight)=cos a$

$cosleft( fracpi 2+a ight)=-sin a$

$ ã left( fracpi 2+a ight)=-cot a$

$cot left( fracpi 2+a ight)=-chảy a$

2 cung hơn nhau $fracpi 2$ thì sin ( cung lớn) = cos ( cung nhỏ)

1.4. Các công thức lượng giác cơ bản

$ an x=dfracsin xcos x, cot x=dfraccos xsin x, ã xcot x=1 $$ sin^2x+cos^2x=1, 1+ an^2x=dfrac1cos^2 x, 1+cot^2x=dfrac1sin^2x $

1.5. Công thức cộng

1.6. Công thức nhân cùng hạ bậc

1.7. Công thức biến đổi tổng các thành tích cùng tích thành tổng

2. Các dạng toán thù với ví dụ điển hình

Ví dụ 1.

Bạn đang xem: Rút gọn biểu thức lượng giác

Biểu diễn những cung gồm số đo: $ dfracpi4,dfrac5pi4,dfracpi4+kpi,dfracpi6,dfrac13pi6,dfracpi3+kdfrac2pi3,60^circ+k120^circ $ trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 2. Tính $ an 300^circ,sin(-780^circ) $

Hướng dẫn.$ ung 300^circ=-sqrt3,sin(-780^circ)=-dfracsqrt32. $

Ví dụ 3. Rút ít gọn các biểu thức

$ A=5 an540^circ+2cos1170^circ+4sin990^circ-3cos540^circ. $$ B= 3sindfrac25pi6-3 andfrac13pi4+2cosdfrac14pi3$$ C=dfracsin(-234^circ)-cos216^circsin144^circ-cos216^circcdot an36^circ $$ D=sin(x+pi)-cos(dfracpi2-x)+cot(2pi-x)+ an(dfrac3pi2-x) $

Hướng dẫn.$ A=-1, quad B=-dfrac12, quad C=1,quad D=-2sin x $

Ví dụ 4. Chứng minc những đẳng thức

$ sin^4x+cos^4x=1-2sin^2xcos^2x $$ sin^6x+cos^6x=1-3sin^2xcos^2x $$ dfrac1-cos xsin x=dfracsin x1+cos x $$ dfrac1+cot x1-cot x=dfracchảy x+1 an x-1 $

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức lượng giác sau:

$ A=( ã x+cot x)^2-( ã x-cot x)^2 $$ B=(1-sin^2x)cot^2x+1-cot^2x $$ C=chảy x+dfraccos x1+sin x $$ D=dfraccos x ung xsin^2x-cot xcos x $

Hướng dẫn. $ A=4$, $B=sin^2x$, $C=dfrac1cos x$, $D=sin x $

Ví dụ 6. Chứng minch những biểu thức sau ko phụ thuộc vào $ x $

$ A=dfraccot^2x-cos^2xcot^2x $$ B=dfrac(1- an^2x)^24 an^2x $$ C=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x) $

Hướng dẫn. $ A=1$, $B=-1$, $C=-1$

Ví dụ 7. Cho $ cosalpha=-dfrac35 $ và $ 180^circBài 1. Tính các giá chỉ trị lượng giác của góc, biết:

a) $sin alpha = frac23, m fracpi 2 b) $cos altrộn = frac45, m frac3pi 2 c) $cos alpha = – frac57, m – pi d) $ ã altrộn = frac43, m pi e) $cot alpha = – sqrt 3 , m – frac3pi 2 f) $chảy altrộn = frac73, m 0 Bài 2. Cho $ ã alpha = 3$, tính giá trị các biểu thức

a) $A = frac2sin alpha – 3cos altrộn 4sin alpha + 3cos alpha $b) $B = frac3sin alpha – 5cos altrộn 5sin ^3alpha – 4cos ^3altrộn $.

Bài 3. Cho $cot altrộn = frac35$, tính giá chỉ trị các biểu thức

a) $A = fracsin alpha + cos altrộn sin alpha – cos alpha $b) $B = fracsin altrộn .cos altrộn sin ^2alpha – cos ^2alpha $c) $C = frac3sin ^2alpha + 12sin altrộn cos altrộn + 10cos ^2alpha 3sin ^2alpha + sin altrộn cos alpha – 2cos ^2alpha $.

Bài 4. Tính giá chỉ trị những biểu thức lượng giác sau:

a) $A = fracsin ^2alpha – cos ^2altrộn sin ^2alpha – 2cos ^2altrộn $ biết $cot alpha = 3$.b) $A = frac2sin ^2altrộn – cos ^2altrộn – 1 – 2sin ^2alpha + 3cos ^2alpha $ biết $ an altrộn = frac14$.c) $C = fraccot alpha + chảy altrộn cot alpha – ung alpha $ biết $sin alpha = frac35, m 0 d) $D = fracsin altrộn + 3cos alpha ung alpha $ biết $sin alpha = – frac45, m frac3pi 2 e) $E = frac4cot altrộn + 31 – 5sin altrộn $ biết $cos altrộn = – frac13, m pi f) $F = fracsin alpha – 3cos alpha cos alpha – 2sin altrộn $ biết $ ung alpha = 3$.

Bài 5. Cho $ ung altrộn + cot alpha = m$. Hãy tính giá chỉ trị các biểu thức lượng giác sau $m$:

a) $ an ^2altrộn + cot ^2alpha $b) $left| chảy alpha – cot alpha ight|$c) $ an ^3alpha + cot ^3altrộn $

Bài 6. Cho $sin altrộn + cos alpha = m$. Hãy tính:

a) $sin alpha cos altrộn $b) $left| sin alpha – cos altrộn ight|$c) $sin ^3altrộn + cos ^3altrộn $d) $sin ^4alpha + cos ^4altrộn $ e) $sin ^6alpha + cos ^6alpha $

Dùng công thức cộngBài 8. Tính giá chỉ trị những biểu thức lượng giác sau:

a) $cos left( x + fracpi 3 ight)$, biết $sin x = frac1sqrt 3 $ với $0 b) $chảy left( x – fracpi 4 ight)$, biết $cos x = – frac13$ và $fracpi 2 c) $cos left( a + b ight), m sin left( a – b ight),$ biết $sin a = frac45, m 0^0 Bài 9.

a) Cho $sin a = – frac1213$, với $pi b) Cho $sin a = frac513, m cos b = frac35$ với $fracpi 2 c) Cho $ ung a = frac12, m sinb = frac35$ với $0 Bài 10. Cho $chảy alpha = – frac158$ với $frac3pi 2 b) Tính $sin left( alpha – 7pi ight), m cos left( alpha + frac2pi 3 ight), m cot left( frac3pi 4 – alpha ight)$.

Bài 11. Cho $sin altrộn = frac817, m sineta = frac1517, m 0 Bài 12. Tính $sin 2a, m cos 2a, m ã 2a$, biết

a) $sin a = – 0,6$ với $pi b) $sin a = frac35$ và $fracpi 2 c) $cos a = – frac513$ với $fracpi 2 d) $chảy a = frac43$ với $pi e) $ ã a = 2$.f) $cos a = frac14$ cùng $frac3pi 2 g) $sin a + cos a = frac12$ và $frac3pi 4 Bài 13. Cho $cos a = – frac513$ với $pi Bài 14. Cho $sin 2a = frac45 m left( {fracpi 4 Bài 15. Cho $sin 2a = – frac59 m left( {fracpi 2 Bài 16. Cho $cos 2a = frac35 m left( {frac3pi 4 Bài 1. Rút ít gọn các biểu thức sau (ko dùng đồ vật tính):

a) $A = sin 170^0.cos 80^0 + cos 10^0.sin 80^0.$b) $B = fraccos left( – 288^0 ight)cot 72^0 ã left( – 162^0 ight)sin 108^0 – an 18^0$.c) $C = fracsin left( – 243^0 ight) + sin 126^0sin 144^0 – cos 126^0. ung 36^0$.d) $D = fracleft( cot 44^0 + an 226^0 ight).cos 406^0cos 316^0 – cot 72^0.cot 18^0$.

Xem thêm: Nonton One Piece: Episode 733 : Onepiece, Nonton One Piece Episode 733 Sub Indo

Bài 2. Rút ít gọn những biểu thức sau ( ko cần sử dụng máy tính ):

a) $A = sin ^2left( 180^0 – x ight) + ung ^2left( 180^0 – x ight). ung ^2left( 270^0 + x ight) + sin left( 90^0 + x ight).cos left( x – 360^0 ight)$.b) $B = fraccos left( x – 90^0 ight)sin left( 180^0 – x ight) + frac ã left( x – 180^0 ight)cos left( x + 180^0 ight)sin left( 270^0 + x ight) ã left( 270^0 + x ight)$.c) $C = fracsin 20^0.sin 30^0.sin 40^0.sin 50^0.sin 60^0.sin 70^0cos 10^0.cos 50^0.$d) $D = chảy 1^0. an 2^0. ã 3^0….. an 88^0. an 89^0.$e) $E = cos fracpi 7 + cos frac2pi 7 + …. + cos frac6pi 7$.

Bài 3. Rút gọn những biểu thức sau:

a) $A = cos left( x – fracpi 2 ight) + sin left( x – pi ight)$.b) $B = cos left( pi – x ight) + sin left( x + fracpi 2 ight)$.c) $C = cos left( fracpi 2 – x ight) + sin left( fracpi 2 – x ight) – cos left( fracpi 2 + x ight) – sin left( fracpi 2 + x ight)$.d) $D = cos left( frac3pi 2 – x ight) – sin left( frac3pi 2 – x ight) + cos left( x – frac7pi 2 ight) – sin left( x – frac7pi 2 ight).$e) $E = cos left( fracpi 2 – x ight) + cos left( pi – x ight) + cos left( frac3pi 2 – x ight) + cos left( 2pi – x ight).$f) $F = sin left( frac5pi 2 – x ight) – cos left( frac13pi 2 – x ight) – 3sin left( x – 5pi ight) – 2sin x – cos x.$

Bài 4. Rút ít gọn các biểu thức sau:

a) $A = sin left( pi – x ight) – cos left( fracpi 2 – x ight) + cot left( pi + x ight).cot left( fracpi 2 – x ight)$.b) $B = cos left( fracpi 2 + x ight) + cos left( 2pi – x ight) + cos left( 3pi + x ight)$.c) $C = cot left( x – 4pi ight)cos left( x – frac3pi 2 ight) + cos left( x + 6pi ight) – 2sin left( x – pi ight)$.d) $C = sin left( x + 5pi ight) – cos left( fracpi 2 – x ight) + cot left( 4pi – x ight) + ã left( fracpi 2 – x ight)$.e) $E = cot left( x + 5pi ight).cos left( x – frac3pi 2 ight) + cos left( x + 4pi ight) – 2cos left( x + fracpi 2 ight).$f) $F = cos left( x + 5pi ight) – 2sin left( frac11pi 2 – x ight) – sin left( frac11pi 2 + x ight).$

Công thức lượng giác cơ bảnBài 5. Rút ít gọn những biểu thức sau:

a) $A = left( 1 – sin ^2a ight)cot ^2a + 1 – cot ^2a.$ b) $B = cos ^4a + sin ^2a.cos ^2a + sin ^2a.$c) $C = fraccos ^2x – cot ^2xsin ^2x – ã ^2x$ d) $D = fracleft( sin a + cos a ight)^2 – 1cot a – sin a.cos a$.e) $E = left( 1 + cot a ight).sin ^3a + left( 1 + ã a ight).cos ^3a$ f) $F = fracsin ^2x + 2cos ^2x – 1cot ^2a$.

Bài 6. Rút ít gọn những biểu thức sau:

a) $A = 1 – cos ^2a + cot ^2a.sin ^2a$.b) $B = frac2cos ^2a – 1sin a + cos a$.c) $C = cot a – fraccos asin a + 1$d) $D = fracsin a + 1cos a.left< 1 – left( frac1 – sin acos a ight)^2 ight>.$e) $E = sqrt left( 1 + cot a ight).sin ^2a + left( 1 + chảy a ight).cos ^2a $.

Bài 7. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

a) $A = 3.cos ^2x.left( 1 + ung ^2x ight) – sin ^2xleft( 1 + cot ^2x ight)$b) $B = fracsin ^4x + cos ^4x – 1sin ^2x.cos ^2x$.c) $C = fraccot ^2x – cos ^2xcot ^2x + fracsin x.cos xcot x$d) $D = frac2 ung x – 1 + fraccot x + 1cot x – 1$.e) $E = 3left( sin ^4x + cos ^4x ight) – 2left( sin ^6x + cos ^6x ight)$ .f) $F = left( chảy x + cot x ight)^2 – left( an x – cot x ight)^2$.g) $G = sqrt sin ^4x + 4cos ^2x + sqrt cos ^4x + 4sin ^2x $ .h) $H = 2cos ^4x – sin ^4x + sin ^2x.cos ^2x + 3sin ^2x$.

Công thức cộng, nhân, biến đổi

Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = sin left( a + b ight) + sin left( fracpi 2 – a ight).sin left( – b ight)$b) $B = cos left( fracpi 4 – a ight).cos left( fracpi 4 + a ight) + frac12sin ^2a$c) $C = cos left( fracpi 2 – a ight).sin left( fracpi 2 – b ight) – sin left( a – b ight)$d) $D = cos a.cos left( fracpi 3 – a ight).cos left( fracpi 3 + a ight)$.e) $E = cos left( x + 17^0 ight).cos left( 13^0 – x ight) – sin left( 17^0 + x ight).sin left( 13^0 – x ight)$.f) $F = sin left( 2x + fracpi 3 ight)cos left( x – fracpi 6 ight) – cos left( 2x + fracpi 3 ight).cos left( frac2pi 3 – x ight)$.

Bài 9. Rút ít gọn những biểu thức sau:

a) $A = fracsin left( x + fracpi 4 ight) – cos left( x + fracpi 4 ight)sin left( x + fracpi 4 ight) + cos left( x + fracpi 4 ight)$b) $B = fraccot x – chảy xcos 2x$.c) $C = fracsin a + sin 3a + sin 5acos a + cos 3a + cos 5a$d) $D = fracsin a.cos 5a – sin 5a.cos 3acos 2a$.e) $H = sin xleft( 1 + 2cos 2x + 2cos 4x + 2cos 6x ight)$.

Bài 10. Rút ít gọn các biểu thức:

a) $A = fracsin a + sin 2a1 + cos a + cos 2a$b) $B = frac4sin ^2a1 – cos ^2fraca2$c) $C = frac1 + cos a – sin a1 – cos a – sin a$d) $D = frac1 + sin a – 2sin ^2left( 45^0 – fraca2 ight)4cos fraca2$.e) $E = frac ã 2a an 4a – an 2a$f) $F = frac3 – 4cos 2a + cos 4a3 + 4cos 2a + cos 4a$g) $G = sqrt 1 + sin a – sqrt 1 – sin a , m 0 Bài 11. Chứng minch những biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

a) $A = sin 8x + 2cos ^2left( 45^0 + 4x ight)$b) $B = cos x + cos left( x + frac2pi 3 ight) + cos left( x + frac4pi 3 ight)$c) $C = cos left( x – fracpi 3 ight)cos left( x + fracpi 4 ight) + cos left( x + fracpi 6 ight).cos left( x + frac3pi 4 ight)$d) $D = sin 2x – 2sin left( x – 15^0 ight).cos left( x + 15^0 ight)$.e) $E = cos ^2x + sin left( x + 30^0 ight).sin left( x – 30^0 ight)$

Bài 12. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

a) $A = sin 6x.cot 3x – cos 6x$b) $B = left( cot fracx3 – ã fracx3 ight). ung frac2x3$c) $C = fraccos ^3x – cos 3xcos x + fracsin ^3x + sin 3xsin x$d) $D = sin ^2x + sin ^2left( x + frac2pi 3 ight) + sin ^2left( frac2pi 3 – x ight)$e) $E = cos ^2left( a – x ight) + cos ^2x – 2cos a.cos x.cos left( a – x ight)$f) $F = left< chảy left( 90^0 – x ight) – cot left( 90^0 + x ight) ight>^2 – left< cot left( 180^0 + x ight) + cot left( 270^0 + x ight) ight>^2$.

Dạng 3. Chứng minch đẳng thức lượng giác

Bài 1. Chứng minch rằng với mọi góc $altrộn $ ta có:

a) $sin left( altrộn + fracpi 2 ight) = cos altrộn $b) $cos left( alpha + fracpi 2 ight) = – sin alpha $c) $chảy left( altrộn + fracpi 2 ight) = – cot alpha $d) $cot left( altrộn + fracpi 2 ight) = – ã altrộn $.

Bài 2. Chứng minc các đẳng thức:

a) $ ung ^2alpha – sin ^2altrộn = ung ^2alpha .sin ^2altrộn $b) $ an alpha + fraccos altrộn 1 + sin alpha = frac1cos alpha $c) $fracsin ^3alpha + cos ^3altrộn sin altrộn + cos alpha = 1 – sin altrộn .cos alpha $d) $fracsin ^2altrộn – cos ^2alpha 1 + 2sin alpha .cos alpha = frac ã altrộn – 1 an alpha + 1$e) $sin ^4alpha + cos ^4altrộn – sin ^6alpha – cos ^6alpha = sin ^2altrộn .cos ^2altrộn $f) $2left( sin ^6altrộn – cos ^6altrộn ight) + 1 = 3left( sin ^4altrộn + cos ^4alpha ight)$g) $sin ^3alpha left( 1 + cot alpha ight) + cos ^3alpha left( 1 + ung altrộn ight) = sin altrộn + cos altrộn $

Bài 3. Chứng minch các đẳng thức sau:

a) $frac1 + cos ^2altrộn 1 – sin ^2alpha – ung altrộn .cot altrộn = frac1cos ^2altrộn $ b)$fracsin altrộn + cos altrộn – 11 – cos altrộn = frac2cos altrộn sin alpha – cos altrộn + 1$c) $fracsin alpha sin altrộn + cos altrộn – fraccos altrộn cos altrộn – sin altrộn = frac1 + cot ^2altrộn 1 – cot ^2altrộn $d) $fracsin ^2altrộn sin altrộn – cos altrộn – fracsin alpha + cos alpha chảy ^2alpha – 1 = sin altrộn + cos alpha $.

Sử dụng công thức cộng, nhânBài 4. Chứng minch những đẳng thức sau

a) $cos x.cos left( fracpi 3 – x ight).cos left( fracpi 3 + x ight) = frac14cos 3x$b) $fracsin 2x + sin x1 + cos 2x + cos x = ung x$c) $sin 5x – 2sin xleft( cos 4x + cos 2x ight) = sin x$d) $frac1 + cos x – sin x1 – cos x – sin x = – cot fracx2$e) $fracsin 2x1 + cos 2x.fraccos x1 + cos x = an fracx2$f) $frac3 – 4cos 2x + cos 4x3 + 4cos 2x + cos 4x = chảy ^4x$

Bài 5. Chứng minc những đẳng thức sau:

a) $sin left( a + b ight).sin left( a – b ight) = sin ^2a – sin ^2b$b) $frac4 an xleft( 1 – chảy ^2x ight)left( 1 + chảy ^2x ight)^2 = sin 4x$c) $frac2sin left( a + b ight)cos left( a + b ight) + cos left( a – b ight) = ã a + ung b$d) $frac1 + an ^4x an ^2x + cot ^2x = an ^2x$e) $sin 2x – sin 4x + sin 6x = 4sin x.cos 2x.cos 3x$f) $ an 3x – chảy 2x – an x = an x. ã 2x. ã 3x$g) $fraccos x.sin left( x – 3 ight) – sin x.cos left( x – 3 ight)cos left( 3 – fracpi 6 ight) – frac12sin 3 = – frac2 an 3sqrt 3 $

Dạng 4. Chứng minch đẳng thức lượng giác vào tam giác

Bài 1. Cho $Delta ABC$. Chứng minc rằng:

a) $sin left( A + B ight) = sin C$b) $cos left( A + B ight) = – cos C$c) $sin fracA + B2 = cos fracC2$d) $cos fracA + B2 = sin fracC2$e) $ ã fracA + B – C2 = cot C$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$. Chứng minch rằng:

a) $sin A = sin B.cos C + sin C.cos B$b) $cos fracA2 = sin fracB2.cos fracC2 + sin fracC2.cos fracB2$c) $sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sin A.sin B.sin C$d) $cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin fracA2.sin fracB2.sin fracC2$.

Xem thêm:

Bài 3. Cho tam giác $ABC$. Chứng minch rằng:

a) $cos B.cos C – sin B.sin C + cos A = 0$.b) $sin A + sin B + sin C = 4cos fracA2.cos fracB2.cos fracC2$.c) $cos 2A + cos 2B + cos 2C = – 1 – 4cos A.cos B.cos C$.d) $ ã fracA2. an fracB2 + ung fracB2.chảy fracC2 + ã fracC2. an fracA2 = 1$