Nguyên hàm sinx^2

     

Công thức nguyên ổn hàm của hàm con số giác – search nguim hàm của hàm số

1. Một số phương pháp lượng giác đề xuất nhớ

Hằng đẳng thức lượng giác: $sin ^2x+cos ^2x=1;frac1sin ^2x=1+cot ^2x;frac1cos ^2x=1+ an ^2x$

- Công thức cộng: $eginarray sin left( apm b ight)=sin a.cos bpm sin boperatornamecosb \ cos left( apm b ight)=cos a.cos bmp sin a.cos b \ ung left( apm b ight)=frac ã apm ã b1mp chảy a. ung b \ endarray$

- Công thức nhân đôi: $left{ eginarray sin 2a=2sin acos a \ cos 2a=cos ^2a-sin ^2a=2cos ^2a-1=1-2sin ^2a \ endarray ight.$

- Công thức hạ bậc: $sin ^2a=frac1-cos 2a2;cos ^2a=frac1+cos 2a2$

- Công thức nhân ba: $left{ eginarray sin 3a=3sin a-4sin ^3a \ cos 3a=4cos ^3a-3cos a \ endarray ight.$

- Công thức biến đổi tích thành tổng: $cos a.cos b=frac12left< cos left( a+b ight)+cos left( a-b ight) ight>$

$sin .asin b=frac12left< cos left( a-b ight)-cos left( a+b ight) ight>;sin a.cos b=frac12left< sin left( a+b ight)+sin left( a-b ight) ight>$

2. Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản

$eginarray I_1=intsin xdx=-cos x+C \ I_2=intsin left( ax ight)dx=-frac1acos left( ax ight)+C \ I_3=intcos xdx=sin x+C \ I_4=intcos left( ax ight)dx=frac1asin left( ax ight)+C \ I_5=intsin ^2xdx=intfrac1-cos 2x2dx=fracx2-fracsin 2x4+C \ I_6=intcos ^2xdx=intfrac1+cos 2x2dx=fracx2+fracsin 2x4+C \ I_7=intfracdxcos ^2x=chảy x+C \ I_8=intfracdxcos ^2left( ax ight)=frac1achảy left( ax ight)+C \ I_9=intfracdxsin ^2left( ax ight)=-cot x+C \ I_10=intfracdxsin ^2left( ax ight)=-frac1acot left( ax ight)+C \ I_11=int ung xdx=int+C \ I_12=intcot xdx=int sin x ight \ I_13=int ung ^2xdx=intleft( frac1cos ^2x-1 ight)dx= ã x-x+C \ I_14=intcot ^2xdx=intleft( frac1sin ^2x-1 ight)dx=cot x-x+C \ endarray$

3. Các dạng nguyên ổn hàm vị giác hay gặp

Dạng 1: Nguyên hàm $I=intsin ^mx.cos^nxdx$

- TH1: Nếu $m=2k+1Rightarrow I=intsin ^2kx.cos ^nx.sin xdx$

$=-intleft( 1-cos ^2x ight)^k.cos ^nxdleft( cos x ight) o lớn $ Đặt $t=cos x$

- TH2: Nếu $n=2k+1 o $ Đặt $t=operatornames extinx$

- TH3: Nếu m,n hồ hết chẵn ta dùng cách làm hạ bậc

Chú ý: Đối với nguim hàm chỉ chứa sinx cùng cosx dạng.

$I=intfleft( sin x ight)cos xdx=intfleft( sin x ight)dleft( sin x ight) o lớn $ Đặt $t=operatornames extinx$

$I=intfleft( cos x ight)sin xdx=-intfleft( cos x ight)dleft( cos x ight) o $ Đặt $t=cos extx$


Dạng 2: Nguyên hàm $I=intfracdxsin ^mx.cos ^nx$

- TH1: Nếu $m=2k+1Rightarrow I=intfracsin xdxsin ^2k+2x.cos ^nx=-intfracdleft( cos x ight)left( 1-cos ^2x ight)^k+1.cos ^nx$

Lúc đó ta đặt: $t=cos x$

- TH2: Nếu $n=2k+1khổng lồ $ ta đặt $t=operatornames extinx$

- TH3: Nếu m,n rất nhiều chẵn ta thay đổi $frac1sin ^mx.cos ^nx=fracsin ^2x+cos ^2xsin ^mx.cos ^nx...$

Dạng 3: Nguyên ổn hàm lượng giác của hàm tanx và cotx

Các nguim hàm cất tanx xuất xắc cotx ta hay được sử dụng các hằng đẳng thức

$frac1sin ^2x=1+cot ^2x;frac1cos ^2x=1+ ã ^2x$

Ngulặng hàm cơ mà mẫu mã số là quý phái bậc nhị với sinx cùng cosx;

$Asin ^2x+Bsin xcos +Ccos ^2x$ thì ta phân chia cả tử số với mẫu số đến $cos ^2x$

Crúc ý: Khi $I=intfracfleft( ã ,x ight)cos ^2xdx=intfleft( ã ,x ight)dleft( ung ,x ight) o lớn $ đặt t=tanx

Dạng 4: Ngulặng hàm áp dụng phương pháp thay đổi tích thành tổng

$eginarray intcos ax.cos bxdx=frac12intleft< cos left( a+b ight)x+cos left( a-b ight)x ight>dx \ intsin ax.sinbxdx=-frac12intleft< cos left( a+b ight)x-cos left( a-b ight)x ight>dx \ intsin ax.cos bxdx=frac12intleft< sin left( a+b ight)x+sin left( a-b ight)x ight>dx \ intcos ax.sinbxdx=frac12intleft< sin left( a+b ight)x-sin left( a-b ight)x ight>dx \ endarray$

Dạng 5: Nguyên ổn hàm $I=intfracdxasin x+bcos x+c$

Ta có: $I=intfracdx2asin fracx2cos fracx2+bleft( cos ^2fracx2-sin ^2fracx2 ight)+cleft( sin ^2fracx2+cos ^2fracx2 ight)$

$eginarray intfracdxmsin ^2fracx2+nsin fracx2cos fracx2+pcos ^2fracx2=intfracdxcos ^2fracx2left( m ã ^2fracx2+n an fracx2+p ight) \ xrightarrowt=chảy fracx2I=intfracdtmt^2+nt+p \ endarray$

Chuyên mục: Giải bài tập