Khoảng cách từ a đến sbc

v Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , là một dạng toán rất quan trọng trong chương vuông góc của lớp 11 và là một phần hay ra trong đề thi Đại Học .

Để giải quyết vấn đề này các bạn phải thành thạo hai công cụ sau và nó liên quan với nhau :

Bài toán 1 : Tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến một mặt bên

Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt phẳng bên.

BƯỚC 1: Xác định giao tuyến d

BƯỚC 2 : Từ hình chiếu vuông góc của đỉnh , DỰNG

( ).

BƯỚC 3 : Dựng .Khoảng cách cần tìm là AI

Với S là đỉnh , A là hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy.

Ba bước dựng ở trên là sử dụng tính chất : Hai mặt phẳng vuông góc với nhau , một đường thuộc mặt phẳng náy vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông vuông với mặt phẳng kia.

v Đây là bài toán cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong việc tính khoảng cách từ một đểm đến một mặt phẳng .Hầu như tính khoảng cách từ một điểm BẤT KỲ đến mặt phẳng bên đều thông qua điểm này dựa vào công thức của bài toán 2 .

Ví dụ điển hình : Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC) .Hãy xác khoảng cách từ điểm A đến mặt bên (SBC).

Ta có BC là giao tuyến của mp(SBC) và (ABC).

Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A , dựng tại H. Dựng tại I

Vì

.

Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (SAH) theo giao tuyến SH có

nên

Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ một đểm bất kỳ đến một mặt phẳng

Thường sử dụng công thức sau :

Công thức tính tỉ lệ khoảng cách:

Ở công thức trên cần tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Phương pháp phải tìm một đường thẳng d qua M và chứa một điểm A mà có thể tính khoảng cách đến mặt phẳng (P). KINH NGHIỆM thường điểm A là hình chiếu của đỉnh.

Để hiểu và tự làm được bài tập thì những tính chất của hình học và phương pháp làm bài tập các bạn phải khắc vào trong tim.

II). BÀI TẬP MẪU

Câu 1: DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2002

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết

LỜI GIẢI

Đây là bài toán cơ bản chúng ta đã nói ở phần trên

Gọi E trung điểm BC thì

(vì ABC đều).

Có

,

mà

hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SE, trong mp(SAE) dựng tại F. Suy ra . Vậy .

Trong tam giác vuông SAE có

.

Kết luận

.

Câu 2: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB =

và = 300 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

LỜI GIẢI

H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S, hai điểm B và H cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAC) tại C . Nên bước đầu tiên ta phải tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SAC) , sau đó sử dụng công thức tỉ số khoảng cách để tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC). Cách làm cụ thể như sau :

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC. Do

vuông góc với nhau theo giao tuyến BC nên .

Trong

vuông tại H có .

Trong mp(ABC) dựng

tại G. Ta có mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SG, trong mp(SHG) dựng tại K .

Vậy

.

Ta có

.

Trong vuông tại H :

.

Hai điểm H và B nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SAC) tại C, nên có:

.

Các bạn phải nắm vững phương pháp tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên mặt bên

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với BC = 2a,

. Gọi M là trung điểm BC. Biết SA = SB = SC = .

a). Tính chiều cao của hình chóp.

b). Tính khoảng cách từ M đến mp(SAB).

LỜI GIẢI

a). Tính chiều cao của hình chóp.

Vì vuông tại A, M trung điểm của BC nên có

(1)

Theo đề

(2) .

Từ (1) và (2) suy ra M là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC).

Vậy

.

Trong

có

.

b). Tính khoảng cách từ M đến mp(SAB).

CHÚ Ý: M là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mp(ABC).

Trong mp(ABC) dựng

tại F, có mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SF, trong mp(SMF) dựng tại F .

Do đó

MBA là tam giác cân có góc 600, nên MBA đều

.

Trong SMF vuông tại M:

.

Vậy

.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD . Gọi M là trung điểm của AB. Biết rằng SA=

và đường thẳng SC tạo với đáy một góc . Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).

LỜI GIẢI

Trong vuông tại S có

.

Có HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABCD). Vậy góc giữa SC và (ABCD) là góc

, .

Ngoài ra

.

Muốn tính khoảng cách từ M đến mp(SBC), ta phải tính khoảng cách từ H (hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy) đến mp(SBC) trước, sau đó sử dụng công thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ M đến mp(SBC).

Dựng

Ta có , mà , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK, dựng . Vậy .

Trong vuông tại H có

.

Vì

nên .

Hai điểm A và M cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp(SBC) tại B, có

.

Bạn đang xem: Khoảng cách từ a đến sbc

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). (A – 2014 ).

LỜI GIẢI

Gọi H là trung điểm của AB, O là giao điểm của AC và BD.

Theo đề bài ta có .

vuông tại A có

.

vuông tại H có

.

Dựng

. Có và mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK, dựng . Vậy .

Ta có

, trong có

.

Hai điểm A và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBD) tại B có:

.

Câu 6: Cho hình lăng trụ ABC.A"B"C" có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A" trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A"C và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC"A"). (B – 2014 ).

LỜI GIẢI

Gọi H là trung điểm của AB. Theo đề bài ta có .

Có HC là hình chiếu vuông góc của A"C trên mặt phẳng (ABC), nên góc giữa A"C và mặt phẳng (ABC) là góc

. Do đó .

Dựng

. Có và mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến A"K, dựng .

Vậy

.

Ta có

,

trong

có .

Hai điểm B và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(ACC"A") tại A có:

.

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi M,N và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM, biết . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBP).

LỜI GIẢI

Ta có

, mà .

Vậy

tại H.

Trong

có ,

, .

Muốn tính khoảng cách từ C đến mp(SBP), ta phải tính khoảng cách từ H (hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy) đến mp(SBP) trước, sau đó sử dụng công thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ C đến mp(SBP).

Gọi

, suy ra K trung điểm của HC, vậy .

Vì BPDM là hình bình hành nên

, và có suy ra mà , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK, dựng . Vậy .

Trong vuông tại H có

.

Hai điểm C và H cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp(SBP) tại K, có

.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC ,đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông góc với đáy , góc giữa SB và đáy ABC bằng 600 . I trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SI

a). Chứng minh tam giác ABH vuông .

b). Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến mặt phẳng ABH

LỜI GIẢI

a). Chứng minh tam giác ABH vuông .

Ta có

hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SI , có

Kết luận tam giác ABH vuông tại H .

AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABC) , nên góc giữa SB và (ABC) là góc

.

b). Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến mặt phẳng ABH

Ta có

, từ I thuộc BC kẻ , mà HB là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc (ABH) và (SBC) , nên suy ra . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABH) là IK .

Trong vuông tại A có

, .

Trong

vuông tại I có : .

Vì hai điểm I và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (ABH) là A , theo công thức tính tỉ lệ khoảng cách có

.

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy (ABCD) là hình vuông tâm O, AB = 2a, SA = 4a. Tính:

a). Khoảng cách từ O đến (SAB). b). Khoảng cách từ A đến (SCD).

LỜI GIẢI

a). Khoảng cách từ O đến (SAB).

Xem thêm: Top 40 Cảm Nhận Của Em Về Anh Thanh Niên (Hay Nhất)

Do S.ABCD là hình chóp đều nên

.( các bạn để ý O là hình chiếu của đỉnh S)

Trong mp(ABCD) dựng

tại I, thì mà , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SI, trong (SOI) dựng tại H . Vậy .

Có OI là đường trung bình của

.

Trong vuông tại O :

.

Trong

vuông tại O :

.

b). Khoảng cách từ A đến (SCD).

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên khoảng cách từ tâm O đến các mặt bên bằng nhau, nên

.

Hai điểm A và O nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SCD) tại C, nên có:

.

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300.

a). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).

b). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).

c). Tính khoảng cách từ trung điểm I của SC, trọng tâm G của tam giác SCD đến mặt phẳng (SBD).

d). Tính khoảng cách từ O , I và G đến mặt phẳng (SAB).

LỜI GIẢI

a). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).

Vì

SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB)

Trong vuông tại B có

.

Trong vuông tại A có

+ Ta có

mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến ,trong mp(SAC) dựng .

+ Trong tam giác vuông SAO có:

Vậy

.

b). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).

Vì hai điểm A và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBD) tại O nên có:

.

c). Tính khoảng cách từ I và G đến mặt phẳng (SBD)

Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBD) tại S nên có:

.

Vì hai điểm I và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBD) tại D nên có:

.

d). Tính khoảng cách từ O , I và G đến mặt phẳng (SAB).

ở câu a) ta có

.

v Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB) tại S nên có

.

Vì hai điểm O và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB) tại A nên có

.

Vì hai điểm O và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB) tại A nên có

.

Vì

nên .

Vì hai điểm E và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB) tại S nên có:

.

Thông qua bài tập này các bạn thấy mấu chốt của bài toán là dựa vào khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh ở đây là điểm A , sau đó sử dụng công thức tính tỉ lệ khoảng cách.

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a , SA vuông góc với đáy (ABCD) và

.

a). Tính khoảng cách từ A , B đến (SCD).

b). Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).

LỜI GIẢI

Có

mà , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SC, trong (SAC) dựng ( ) . Vậy .

Trong vuông tại C có

.

Trong tam giác vuông SAC có

.

ü Kết luận

.

Gọi M trung điểm của AD thì

, gọi nên .

Hai điểm A và O cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SCD) tại C nên

Ta có:

.

ü Kết luận

.

b). Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).

Vì

Trong mp(ABCD) dựng

, có mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK , trong mp(SAK) dựng .

Tính AK:

.

Trong tam giác vuông SAK:

.

Kết luận

.

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM).

LỜI GIẢI

Gọi H là giao điểm của BM và AN. Ta có

, Mà . Vậy

Ta có

.

BM là giao tuyến của mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) và có ,

nên góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng AN và SH là góc .

Tam giác SAH vuông cân tại A

Trong tam giác vuông ABM:

Có

mà , hai mặt phẳng (SBM) và (SAN) vuông góc nhau theo giao tuyến SH , trong (SAN) dựng suy ra .

Trong tam giác SAH vuông cân tại A có

.

Hai điểm A và D cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBM) tại M nên có :

.

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy (ABCD) là hình vuông tâm O cạnh a , SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA = a. Gọi I , J là trung điểm của SC và AB.

a). Chứng minh IO (ABCD). b). Tính khoảng cách từ I đến CJ.

LỜI GIẢI

a). Chứng minh IO (ABCD).

Xem thêm: Chỉ Thị Về Nhiệm Vụ Chủ Đề Năm Học 2016 2017 Của Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo

Trong tam giác SAC có OI là đường trung bình của tam giác. Nên có :

.

b). Tính khoảng cách từ I đến CJ.

Trong (ABCD) dựng

tại H. Ta có

.

Khoảng cách từ I đến CJ là HI . Gọi

nên G là trọng tâm của tam giác ABC ,với .

Trong

vuông tại O có .

Trong

vuông tại O : .

Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A"B"C" có AA" = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = .

a). Tính khoảng cách từ AA" đến (BCC"B").

b). Tính khoảng cách từ A đến (A"BC).

c). Chứng minh AB (ACC"A") và tính khoảng cách từ A" đến (ABC").

LỜI GIẢI

a). Tính khoảng cách từ AA" đến mp(BCC"B").

do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên các đường thẳng AA’, BB’, CC’ vuông góc với các đáy (ABC) và (A’B’C’).

Dựng tại H. có

Tam giác ABC vuông tại A có

và .

Kết luận

Vì AA" // BB"

.

b). Tính khoảng cách từ A đến (A"BC).

Có và

mà

, hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến A"H trong (A’AH) dựng .

Vậy

.

Trong

có : .

Kết luận

.

c). Chứng minh AB (ACC"A") , vì

Vì

, hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến AC", dựng . Vậy

Trong

có .

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA đáy và SA = .

a). Tính khoảng cách từ A tới mp(SBC).

b). Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).

c). Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp(SAC).

LỜI GIẢI

a). Tính khoảng cách từ A tới mp(SBC).

Ta có

, hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SB trong mp(SAB) dựng tại H . Vậy

Trong có

.

Kết luận

.

b). Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).

Hai điểm A và O nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBC) tại C, nên có:

.

c). Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp(SAC).

Ta có

.

Hai điểm B và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với (SAC) tại I với I trung điểm của SA , nên có:

.

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA = a và SA vuông góc với đáy (ABCD) . Gọi I , M là trung điểm của SC , CD .

a). Tính khoảng cách từ A đến (SBD). b). Tính khoảng cách từ I đến (SBD).

c). Tính khoảng cách từ A đến (SBM).

LỜI GIẢI

a). Tính khoảng cách từ A đến (SBD).

Trong mp(ABCD) dựng

tại O

Có

và

mà

, hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SO, trong (SAO) dựng tại H .

Vậy

.

Trong có

.

Trong có

.

Kết luận