ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 HỌC KÌ 2

  -  

Tổng vừa lòng kỹ năng bắt buộc nắm vững, những dạng bài tập và thắc mắc có chức năng xuất hiện vào đề thi HK2 Toán học 12 chuẩn bị tới


Phần 1

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

1. Ngulặng hàm

a) Khái niệm

Nếu (Fleft( x ight)) là 1 trong nguim hàm của (fleft( x ight)) bên trên (K) thì chúng ta nguyên hàm của (fleft( x ight)) bên trên (K) là:

(int f(x) dx = F(x) + C,C in R.)

b) Tính chất

+)(int f"(x) dx = f(x) + C)

+)(int left< f(x) pm g(x) ight> dx)( = int f(x) dx pm int g(x) dx)

+)(int kf(x) dx = kint f(x) dx (k e 0))

c) Ngulặng hàm của một trong những hàm số hay gặp

*

d) Các phương pháp search ngulặng hàm

- Sử dụng bảng ngulặng hàm cơ bản

- Sử dụng phương thức đổi biến hóa số

(int fleft< u(x) ight>.u"(x) dx = Fleft< u(x) ight> + C)

- Sử dụng phương pháp ừng phần để tra cứu ngulặng hàm

(int u dv = uv - int v du)

2. Tích phân

a) Định nghĩa

Cho hàm số (fleft( x ight)) tiếp tục trên khoảng (I) với (a,b) là nhì số bất kỳ trực thuộc (I.) Nếu (Fleft( x ight)) là 1 trong những ngulặng hàm của (fleft( x ight)) thì hiệu số (Fleft( b ight) - Fleft( a ight)) được hotline là tích phân của (fleft( x ight)) tự (a) cho (b) và kí hiệu là (intlimits_a^b f(x)dx .)

Ta bao gồm phương pháp Newton – Leibnitz:

(intlimits_a^b f(x)dx = left. Fleft( x ight) ight|_a^b = Fleft( b ight) - Fleft( a ight))

b) Tính chất

+) (intlimits_a^a f(x)dx = 0)

+) (intlimits_a^b f(x)dx = - intlimits_b^a f(x)dx )

+) (intlimits_a^c f(x)dx = intlimits_a^b f(x)dx + intlimits_b^c f(x)dx )

+) (intlimits_a^b kf(x)dx = kintlimits_a^b f(x)dx ,k in R)

+)(intlimits_a^b dx )(= intlimits_a^b f(x)dx pm intlimits_a^b g(x)dx )

c) Pmùi hương pháp tính tích phân

- Sử dụng phương pháp Newton – Leibnitz kết hợp với bảng nguyên ổn hàm cơ phiên bản nghỉ ngơi trên

- Phương pháp thay đổi biến số

(intlimits_a^b fleft< u(x) ight>.u"(x) dx = intlimits_u(a)^u(b) f(u) du)

- Pmùi hương pháp từng phần nhằm tính tích phân

(intlimits_a^b u dv = left. uv ight|_a^b - intlimits_a^b v du)

3. Ứng dụng của tích phân

a) Tính diện tích hình phẳng

+) Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vày vật dụng thị hàm số (y = fleft( x ight)) ((fleft( x ight)) liên tục trên đoạn (left< a;b ight>)), trục (Ox) với hai đường thẳng (x = a) và (x = b) được mang lại vì chưng công thức:

(S = intlimits_a^b f(x) ight )

+) Diện tích hình phẳng giới hạn vì hai đường thẳng (x = a,x = b) và thứ thị của nhị hàm số (y = f_1left( x ight)) và (y = f_2left( x ight)) ((f_1left( x ight)) và (f_2left( x ight)) thường xuyên trên đoạn (left< a;b ight>)) được mang đến vị công thức

(S = intlimits_a^b f_1(x) - f_2(x) ight )

c) Tính thể tích vật dụng thể, khối tròn xoay

+) Thể tích vật thể (T) bao gồm thiết diện (Sleft( x ight)) được mang đến vì chưng công thức:

(V = intlimits_a^b S(x)dx )

+) Cho hàm số (y = fleft( x ight)) thường xuyên và không âm trên đoạn (left< a;b ight>.) Thể tích của đồ dùng thể tròn luân phiên sinh do miền (left( D ight)) giới hạn bởi (y = fleft( x ight),;x = a,x = b,y = 0) xoay quanh trục (Ox) được mang lại bởi công thức:

(V = pi intlimits_a^b y^2dx = pi intlimits_a^b f^2(x)dx )

+) Cho hàm số (x = fleft( y ight)) thường xuyên với ko âm bên trên đoạn (left< a;b ight>.) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinc vì chưng miền (left( D ight)) số lượng giới hạn bởi (x = fleft( y ight),;y = a,y = b,x = 0) quay quanh trục (Oy) được mang đến vì chưng công thức:

(V = pi intlimits_a^b x^2dy = pi intlimits_a^b f^2(y)dy )


Phần 2

SỐ PHỨC

1. Một số phức là 1 trong biểu thức gồm dạng a + bi, trong những số ấy a, b là các số thực với số i thoả mãn i2 = -1. Ký hiệu số phức sẽ là z và viết z = a + bi.

Bạn đang xem: đề cương ôn tập toán 12 học kì 2

i được gọi là đơn vị ảo

a được Điện thoại tư vấn là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a

b được Hotline là phần ảo của số phức z = a + bi, ký hiệu Im(z) = b

Tập thích hợp những số phức cam kết hiệu là C.

*) Một số lưu ý:

- Mỗi số thực a dương hầu hết được xem như như thể số phức với phần ảo b = 0.

- Số phức z = a + bi có a = 0 được hotline là số thuần ảo tốt là số ảo.

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

2. Hai số phức cân nhau.

Cho z = a + bi với z’ = a’ + b’i.

3. Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức được biểu diễn vị một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

trái lại, mỗi điểm M(a;b) trình diễn một số phức là z = a + bi.

4. Phxay cộng cùng phxay trừ những số phức.

Xem thêm: Unit 6 Lớp 10 Language Focus, Unit 6 Lớp 10: Language Focus

Cho nhị số phức z = a + bi cùng z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

(left{ eginarraylz + z" = (a + a") + (b + b")i\z - z" = (a - a") + (b - b")iendarray ight.)

5. Phnghiền nhân số phức.

Cho hai số phức z = a + bi với z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

(zz" = aa" - bb" + (ab" + a"b)i)

6. Số phức liên hợp.

Cho số phức z = a + bi. Số phức (overline z ) = a – bi gọi là số phức liên phù hợp với số phức trên.

Vậy (overline z ) = (overline a + bi )= a - bi

Chú ý:

10) (overline overline z ) = z (z cùng (overline z ) Call là nhì số phức liên hợp với nhau.

20) z.(overline z ) = a2 + b2

*) Tính hóa học của số phức liên hợp:

(1): (overlineoverline z = z)

(2): (overline z + z" = overline z + overline z" )

(3): (overline z.z" = overline z .overline z" )

(4): z.(overline z )= (sqrt a^2 + b^2 )(z = a + bi)

7. Môđun của số phức.

Cho số phức z = a + bi. Ta cam kết hiệu (left| z ight|) là môđun của số phỏng z, đó là số thực không âm được khẳng định nhỏng sau:

- Nếu M(a;b) màn biểu diễn số phc z = a + bi, thì (left| z ight|) = =(sqrt a^2 + b^2 )

- Nếu z = a + bi, thì (left| z ight|) = (sqrt z.overline z )=(sqrt a^2 + b^2 )

8. Phnghiền phân chia số phức khác 0.

Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (Có nghĩa là a2+b2 > 0)

Ta khái niệm số nghịch hòn đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số

z-1= (frac1a^2 + b^2overline z = frac1 z ight^2overline z )

Tmùi hương (fracz"z)của phnghiền phân tách số phức z’ mang lại số phức z ≠ 0 được khẳng định nlỗi sau:

(fracz"z = z".z^ - 1 = fracz".overline z z ight^2)

Với các phép tính cộng, trừ, nhân phân tách số phức nói trên nó cũng có không thiếu đặc điểm giao hân oán, phân phối hận, phối kết hợp nhỏng các phxay cùng, trừ, nhân, chia số thực thường thì.


Phần 3

PHƯƠNG PHÁPhường TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1. Hệ trục tọa độ vào không gian

*

+) (overrightarrow i ^2 = overrightarrow j ^2 = overrightarrow k ^2 = 1)

(overrightarrow i .overrightarrow j = overrightarrow i .overrightarrow k ,, = ,,overrightarrow k .overrightarrow j = 0)

+) (vec 0 = (0;0;0),,,vec i = (1;0;0),) (vec j = (0;1;0),,,vec k = (0;0;1))

2. Các bí quyết điểm, véc tơ

+) (vec a pm vec b, = ,,(a_1 pm b_1;,,a_2 pm b_2;,,a_3 pm b_3))

+) (kvec a,, = ,,(ka_1;,,ka_2;,,ka_3))

+) (overrightarrow a = overrightarrow b ,, Leftrightarrow ,,left{ eginarrayla_1 = b_1\a_2 = b_2\a_3 = b_3endarray ight.)

+) (overrightarrow a ) cùng phương (overrightarrow b ,(vec b e vec 0),) ( Leftrightarrow overrightarrow a = koverrightarrow b ,,,(k in mathbbR))

( Leftrightarrow ,,left{ eginarrayla_1 = kb_1\a_2 = kb_2\a_3 = kb_3endarray ight. Leftrightarrow ,,fraca_1b_1 = fraca_2b_2 = fraca_3b_3,)((b_1,,,b_2,,,b_3 e 0))

+) (vec a.vec b = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3)

+) (overrightarrow a ot overrightarrow b ,,, Leftrightarrow ,,,a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0)

+) (vec a^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)

+) (left| vec a ight| = ,,sqrt a_1^2 + a_2^2 + a_2^2 )

+) (cos (vec a,,,vec b),, = ,fracvec a.vec b.left,)(, = ,,fraca_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3sqrt a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 .sqrt b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 )  (với (vec a,,,vec b e vec 0))

+) (eginarraylM in left( Oxy ight) Leftrightarrow z = 0\M in left( Oyz ight) Leftrightarrow x = 0\M in left( Oxz ight) Leftrightarrow y = 0endarray)

+)(eginarraylM in Ox Leftrightarrow y = z = 0;\M in Oy Leftrightarrow x = z = 0;\M in Oz Leftrightarrow x = y = 0endarray)

+) (overrightarrow AB )(= (x_B - x_A;y_B - y_A;z_B - z_A))

+) (AB)(= ,,sqrt (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2 )

+) Toạ độ trung điểm (M) của đoạn trực tiếp (AB): (Mleft( fracx_A + x_B2;fracy_A + y_B2;fracz_A + z_B2 ight))

+) Toạ độ trung tâm (G) của tam giác (ABC): 

 (Gleft( fracx_A + x_B + x_C3;fracy_A + y_B + y_C3;fracz_A + z_B + z_C3 ight))

+) Toạ độ trung tâm (G) của tđọng diện (ABCD):

(Gleft( fracx_A + x_B + x_C + x_D4;fracy_A + y_B + y_C + y_D4;fracz_A + z_B + z_C + z_D4 ight))

+) (eginarraylleft< vec a,vec b ight>\ = ,,left( eginarray*20ca_3&a_1\b_3&b_1endarray ight ight)\ = left( a_2b_3 - a_3b_2;a_3b_1 - a_1b_3;a_1b_2 - a_2b_1 ight)endarray)

+) (,, ot ,,overrightarrow a ;,, ot ,,overrightarrow b )

+) (left< overrightarrow a ,,,overrightarrow b , ight> = - left< overrightarrow b ,overrightarrow a ight>)

+) (left< vec i,vec j ight> = vec k;left< vec j,vec k ight> = vec i;left< vec k,vec i ight> = vec j)

+) (overrightarrow a ,,,overrightarrow b ) thuộc pmùi hương ( Leftrightarrow ,, = ,,overrightarrow 0 ) (chứng tỏ (3) điểm thẳng hàng)

+) (vec a,vec b,vec c) đồng phẳng ( Leftrightarrow left< vec a,vec b ight>.vec c = 0)

+) Diện tích hình bình hành (ABCD):

(S_ABCD = left| left< overrightarrow AB ,overrightarrow AD ight> ight|)

+) Diện tích tam giác (ABC):

(S_Delta ABC = frac12left| left< overrightarrow AB ,,,overrightarrow AC ight> ight|)

+) Thể tích kân hận vỏ hộp (ABCD.A"B"C"D"):

(V_ABCD.A"B"C"D",, = ,,left| .overrightarrow AA" ight|) 

+) Thể tích tứ diện (ABCD):

(V_ABCD = frac16left| ,.overrightarrow AD ight|)

2. Phương trình khía cạnh phẳng

+) Trong không gian (Oxyz), hầu hết phương diện phẳng đều phải sở hữu dạng phương thơm trình:

(Ax + By + Cz + D = 0,,) với (A^2 + B^2 + C^2 e 0)

+) Nếu mặt phẳng ((alpha )) có pmùi hương trình (Ax + By + Cz + D = 0,,)thì nó tất cả một VTPT là (overrightarrow n (A;,B;,C)).

+) Phương trình khía cạnh phẳng trải qua điểm (M_0(x_0;y_0;z_0)) và dìm vectơ (overrightarrow n (A;,B;,C)) khác (overrightarrow 0 ) là VTPT là: (A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0).

+) Nếu (overrightarrow n ) là 1 VTPT của mặt phẳng ((altrộn )) thì (koverrightarrow n ,)(,(k e 0)) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng((alpha ))

+) Một mặt phẳng được xác định duy nhất trường hợp biết một điểm nó trải qua và một VTPT của nó.

Xem thêm: Soạn Địa 8 Bài 19 : Địa Hình Với Tác Động Của Nội, Ngoại Lực

+) Nếu (overrightarrow u ,,overrightarrow v ) có giá tuy vậy song hoặc nằm xung quanh phẳng ((alpha )) thì (overrightarrow n = m) là một trong VTPT của ((alpha )).

+) Khoảng cách từ bỏ điểm (M_0) mang lại khía cạnh phẳng ((altrộn )) được tính: (d(M_0,(altrộn )) = fracsqrt A^2 + B^2 + C^2 )

+) Góc thân (left( alpha ight)) cùng (left( eta ight)) bởi hoặc bù với góc giữa nhì VTPT (overrightarrow n_alpha ,overrightarrow n_eta ). Tức là:

(eginarraylcos left( left( alpha ight),left( eta ight) ight)\ = left| cos left( overrightarrow n_altrộn ,overrightarrow n_eta ight) ight| = frac.left\ = fracleftsqrt A_1^2 + B_1^2 + C_1^2 .sqrt A_2^2 + B_2^2 + C_2^2 endarray)

+) ((altrộn ) m//(eta )) (Leftrightarrow fracA_1A_2 = fracB_1B_2 = fracC_1C_2 e fracD_1D_2)

+) ((alpha ) equiv (eta ))(Leftrightarrow fracA_1A_2 = fracB_1B_2 = fracC_1C_2 = fracD_1D_2)

+) ((altrộn )) cắt ((eta ))(Leftrightarrow fracA_1A_2 e fracB_1B_2) hoặc (fracB_1B_2 e fracC_1C_2) hoặc (fracA_1A_2 e fracC_1C_2)

3. Pmùi hương trình mặt đường thẳng

+) Phương thơm trình tđê mê số: (left{ eginarraylx = x_0 + a_1t\y = y_0 + a_2t\z = z_0 + a_2tendarray ight.; m left( t in mathbbR ight)) cùng với (M_0left( x_0;y_0;z_0 ight)) là vấn đề trải qua với (overrightarrow u = left( a_1;a_2;a_3 ight)) là VTCPhường (left( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 e 0 ight))

+) Phương thơm trình chính tắc: (fracx - x_0a_1 = fracy - y_0a_2 = fracz - z_0a_3) với (M_0left( x_0;y_0;z_0 ight)) là vấn đề trải qua và (overrightarrow u = left( a_1;a_2;a_3 ight)) là VTCP (left( a_1a_2a_3 e 0 ight))

+) Gọi (varphi ) là góc thân hai tuyến đường trực tiếp (Delta _1) cùng (Delta _2). Ta có: (cos varphi = frac overrightarrow u_1 .overrightarrow u_2 ight overrightarrow u_2 ight)

+) gọi (varphi ) là góc thân mặt đường thẳng (Delta ) cùng khía cạnh phẳng ((alpha )). Ta có: (sin varphi = frac overrightarrow u_Delta .overrightarrow n_alpha ightleft)

+) Khoảng cách từ điểm (M) đến con đường trực tiếp (Delta ) trải qua điểm (M_0) với gồm vectơ chỉ phương thơm (overrightarrow u_Delta )

(dleft( M,Delta ight) = frac left< overrightarrow u_Delta ,overrightarrow M_0M ight> ightleft)

+) Khoảng phương pháp thân hai đường trực tiếp chéo nhau:

(Delta _1) trải qua điểm (M) cùng bao gồm vectơ chỉ pmùi hương (overrightarrow u_1 )

(Delta _2) trải qua điểm (N) cùng tất cả vectơ chỉ phương (overrightarrow u_2 )

(dleft( Delta _1,Delta _2 ight) m = frac left< overrightarrow u_1 ,overrightarrow u_2 ight>.overrightarrow MN ight)

+) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

(d) tuy vậy tuy vậy (d") (Leftrightarrow left{ eginarrayloverrightarrow u = koverrightarrow u" \M in d,M otin d"endarray ight.)

(d) trùng (d") (Leftrightarrow left{ eginarrayloverrightarrow u = koverrightarrow u" \M in d,M in d"endarray ight.)

(d) giảm (d") (Leftrightarrow left< overrightarrow u ,overrightarrow u" ight>.overrightarrow MN = 0) cùng (overrightarrow u ,overrightarrow u" ) ko cùng phương

(d) chéo (d") (Leftrightarrow left< overrightarrow u ,overrightarrow u" ight>.overrightarrow MN e 0)

4. Phương trình phương diện cầu

+) Phương trình bao gồm tắc

Mặt cầu (left( S ight):)(left( x - a ight)^2 + left( y - b ight)^2 + left( z - c ight)^2 = R^2) bao gồm trọng điểm (Ileft( a;b;c ight)), nửa đường kính (R > 0)

+) Phương thơm trình tổng quát

Mặt cầu (left( S ight):x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0) tất cả trọng điểm (Ileft( a;b;c ight)) với bán kính (R = sqrt a^2 + b^2 + c^2 - d ) cùng với (a^2 + b^2 + c^2 - d > 0)