Chứng minh định lý fermat nhỏ

  -  

Nếu tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho p là m.a và n.a ( m

#3Namthemaster1234


Namthemaster1234Thiếu úy

Thành viên
*
550 Bài viếtGiới tính:NamĐến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội ChâuSở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

$a^{p-1}\equiv 1 (mod p) a^{p-1}-1\vdots p a^p-a \vdots p$ (1)

*Nếu a là số nguyên dương Ta giả sử (1) đúng với a=n. Ta có $n^p-n\vdots p$

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với a=n+1. Thật vậy:

$(n+1)^p-(n+1)= n^p+n^{p-1}+\frac{n(n-1)}{2!}n^{p-2}+...+\frac{n(n-1)}{2!}n^2+n+1$

Đặt $\underset{k}{C}^{p}= \frac{p(p-1)...(p-k+1)}{k!}$

vì p là số nguyên tố nên $\frac{(p-1)...(p-k+1)}{k!}$ là số nguyên và $n^{p-k}$ cũng là số nguyên nên:

$p(n^{p-1}+\frac{p-1}{2!}.n^{p-2}+...+n)$ là số nguyên chia hết cho p.

Bạn đang xem: Chứng minh định lý fermat nhỏ

Vậy ta có $$(n+1)^p-n-1= n^p+pm+1-n-1$$ (với m thuộc Z nào đó)

$= n^p-n+pm$ (dễ dàng thấy nó chia hết cho p)

*Nếu a là số nguyên âm.

+ p=2 => đúng

+p lẻ thì đặt $a^p-a= -b^p+b = -(b^p-b)\vdots p$ (với b là số nguyên dương, $a=-b$)

Vậy $a^p-a \vdots p$ với mọi $a\in Z$


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.(Albert Einstein)


#4TMW


TMWTrung sĩ

Thành viên
*
172 Bài viếtGiới tính:NamSở thích:lập trìnhcờ tướng Chơi đàn, hát một mình

$a^{p-1}\equiv 1 (mod p) a^{p-1}-1\vdots p a^p-a \vdots p$ (1)

*Nếu a là số nguyên dương Ta giả sử (1) đúng với a=n. Ta có $n^p-n\vdots p$

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với a=n+1. Thật vậy:

$(n+1)^p-(n+1)= n^p+n^{p-1}+\frac{n(n-1)}{2!}n^{p-2}+...+\frac{n(n-1)}{2!}n^2+n+1$

Đặt $\underset{k}{C}^{p}= \frac{p(p-1)...(p-k+1)}{k!}$

vì p là số nguyên tố nên $\frac{(p-1)...(p-k+1)}{k!}$ là số nguyên và $n^{p-k}$ cũng là số nguyên nên:

$p(n^{p-1}+\frac{p-1}{2!}.n^{p-2}+...+n)$ là số nguyên chia hết cho p.

Vậy ta có $$(n+1)^p-n-1= n^p+pm+1-n-1$$ (với m thuộc Z nào đó)

$= n^p-n+pm$ (dễ dàng thấy nó chia hết cho p)

*Nếu a là số nguyên âm.

Xem thêm: Unit 1 Lớp 8: My Friends - Giải Tiếng Anh 8 Unit 1: My Friends Hệ 7 Năm

+ p=2 => đúng

+p lẻ thì đặt $a^p-a= -b^p+b = -(b^p-b)\vdots p$ (với b là số nguyên dương, $a=-b$)

Vậy $a^p-a \vdots p$ với mọi $a\in Z$


Đính chính một xíu cho (1).

(1) nên ghi lại là ($a^{p-1}\equiv 1 ( mod p )$ và$(a,p) = 1$ thì mới tương đương$a^{p}-a$ chia hết p

À,


#5duythanbg


duythanbg

Hạ sĩ

Thành viên
*
77 Bài viếtGiới tính:Nam

Vậy còn dạng ngược lại :

Cho a,p là số tự nhiên thỏa mãn (a,p)=1 và$a^{p-1}-1\vdots p$ CMR p là số nguyên tố.

Tương đương với bài toán sau :

Cho a,p thỏa mãn (a,p)=1 và p là hợp số.

Xem thêm: Kinh Thánh Trọn Bộ Pdf, Epub, Azw3, Sách Tải Về

CMR :

$a^{p-1}-1$ không chia hết cho p.


Trở lại Số học
1 người đang xem chủ đề0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh

Google (1)
Trả lời trích dẫnClear
*
*
Vietnamese

Community Forum Software by IP.BoardLicensed to: Diễn đàn Toán học


Đăng nhập


Tên đăng nhập
NhớChỉ nên chọn khi đang dùng máy tính cá nhân

Đăng nhập ẩnKhông thêm tôi vào nhóm người dùng đang hoạt động