Bài tập về giới hạn dãy số

  -  

Với giải pháp giải những dạng toán về giới hạn của dãy số môn Toán lớp 11 Đại số cùng Giải tích gồm phương thức giải bỏ ra tiết, bài tập minh họa có giải thuật và bài xích tập từ bỏ luyện để giúp học sinh biết cách làm bài xích tập những dạng toán về giới hạn của dãy số lớp 11. Mời các bạn đón xem:


Giới hạn của hàng số và giải pháp giải bài bác tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) dãy số có số lượng giới hạn 0

Ta nói rằng hàng số (un) có giới hạn là 0 lúc n dần dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý mang đến trước, các số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào kia trở đi, |un| nhỏ hơn số dương đó.

Bạn đang xem: Bài tập về giới hạn dãy số

Kí hiệu: limn→∞un=0hay lim un = 0 giỏi un→0khi n→+∞.

b) dãy số có số lượng giới hạn hữu hạn

Ta nói rằng hàng số (un) có giới hạn là số thực L giả dụ lim (un – L) = 0

Kí hiệu: limn→∞un=Lhay lim un = L giỏi un→Lkhi n→+∞.

c) dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số (un) có giới hạn là +∞khi n→+∞, nếu un có thể lớn rộng một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu:limun=+∞ hoặcun→+∞  khi n→+∞ 

Dãy số (un) có giới hạn là -∞ lúc n→+∞, nếulim−un=+∞

Ký hiệu:limun=−∞ hoặc un→−∞  khi n→+∞ 

d) Một vài số lượng giới hạn đặc biệt

limun=0⇔limun=0

lim1n=0;  lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*

limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*

limqn=0 khi   q1+∞ khi   q>1

e) Định lý về giới hạn hữu hạn

* ví như lim un = a cùng lim việt nam = b và c là hằng số. Khi ấy ta có:

lim(un + vn) = a + b

lim(un - vn) = a - b

lim(un vn) = a.b

limunvn=ab,b≠0

lim(cun ) = c.a

lim|un | = |a|

limun3=a3

Nếu un≥0với hầu như n thì a≥0và limun=a.

* Định lí kẹp: Cho tía dãy số (vn); (un) và (wn):

Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a.

Hệ quả: cho hai hàng số (un) cùng (vn):

Nếu un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0thì lim un = 0.

f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

* luật lệ tìm số lượng giới hạn tích lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+∞+∞

+

-∞-∞

-

+∞-∞

-

-∞+∞

* quy tắc tìm giới hạn thương

lim un = L

lim vn

Dấu của vn

limunvn

L

±∞

Tùy ý

0

L > 0

0

+

+∞

0

-

-∞

L

0

+

-∞

0

-

+∞

g) Tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn

Xét cấp cho số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … tất cả công bội |q| S=u1+u1q+u1q2+....=u11−q   q1

2. Các dạng toán

Dạng 1: Tính số lượng giới hạn sử dụng một vài số lượng giới hạn đặc biệt

Phương pháp giải:

Sử dụng những giới hạn sệt biệt:

limun=0⇔limun=0

lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*

limqn=0khi   q1+∞khi   q>1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)lim1n2

b)lim1n2+n+3

c)lim1nn

Lời giải

Áp dụng phương pháp tính số lượng giới hạn đặc biệt, ta có:

a)lim1n2=0

b)lim1n2+n+3=0

c)lim1nn=0

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)lim12n

b)lim54n+1

c) lim (-0,999)n

Lời giải

a) lim12n=0 vì121

b) lim54n+1=+∞ vì54>1

c) lim (-0,999)n = 0 bởi vì |-0,999| Dạng 2: Tính giới hạn hữu hạn của phân thức

Phương pháp giải:

Trường thích hợp lũy vượt của n: chia cả tử cùng và mẫu mang lại nk (với nk là lũy quá với số mũ mập nhất).

Trường hợp lũy thừa mũ n: chia cả tử và mẫu mang đến lũy thừa có cơ số khủng nhất.

Sử dụng một vài giới hạn đặc biệt:

limun=0⇔limun=0lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*limqn=0 khi   q1+∞ khi   q>1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

a)lim−2n3+3n2+4n4+4n3+n

b)lim−5n+4n−7n+1+4n+1

c)lim2nn+1n2+2n−3

Lời giải

a)lim−2n3+3n2+4n4+4n3+n=lim−2n3+3n2+4n4n4+4n3+nn4

=lim−2n+3n2+4n41+4n+1n3=−0+0+41+0+0=0

Vìlim2n=0, lim3n2=0, lim4n4=0, lim4n=0 cùng lim1n3=0.

b)lim−5n+4n−7n+1+4n+1=lim−5n−7n+1+4n−7n+1−7n+1−7n+1+4n+1−7n+1

=lim1−7.−5−7n+1−7.4−7n1+4−7n+1=1−7.0+1−7.01+0=0

Vì lim−5−7n=lim4−7n=0

c)lim2nn+1n2+2n−3=lim2nn+1n2n2+2n−3n2

=lim2n+1n21+2nn−3n2=0+01+0−0=0

Vì lim2n=0,lim1n2=0, lim2nn=0,lim3n2=0

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

*

Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng cách thức liên hợp

Phương pháp giải: Sử dụng những công thức phối hợp (thường sử dụng trong số bài toán đựng căn)

*

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:limn3+3n23−n

Lời giải

*

*

Dạng 4: Tính số lượng giới hạn ra vô cực dạng đựng đa thức hoặc căn thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô rất lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Lúc đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+∞+∞

+

-∞-∞

-

+∞-∞

-

-∞+∞

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau

a)lim2n−n3+2n−2

b)limn2−n4n+1

Lời giải

*

*

Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu mã ra làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô rất lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Lúc đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+∞+∞

+

-∞-∞

-

+∞-∞

-

-∞+∞

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)lim2n4−3n3+2n3+2

b)lim2n−13n2+23−2n5+4n3−1

Lời giải

*

*

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau lim3n2−2n4+3n−24n−3n2+2.

Lời giải

*

Dạng 6: Tính số lượng giới hạn sử dụng định lý kẹp

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý kẹp với hệ quả của định lý kẹp

Định lí kẹp: Cho bố dãy số (vn); (un) và (wn): Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a

Hệ quả: mang lại hai dãy số (un) cùng (vn): trường hợp un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0 thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)lim−1nn+4

b)lim−1n2n+1−13n+1

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limsin2nn+2

b)lim1+cosn32n+3

Lời giải

*

Dạng 7: giới hạn dãy số có công thức truy nã hồi

Phương pháp giải:

Cho dãy số (un) sinh sống dạng bí quyết truy hồi, biết (un) có giới hạn hữu hạn

Giả sử lim un = a (a là số thực) thì lim un+1 = a.

Thay a vào phương pháp truy hồi. Giải phương trình tìm kiếm a.

Ta được số lượng giới hạn của (un) là lim un = a.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: tra cứu lim un biết (un) có số lượng giới hạn hữu hạn vàun:u1=1un+1=2un+3un+2,  n∈ℕ*

Lời giải

Giả sử lim un = a, khi ấy lim un+1 = a

Suy raa=2a+3a+2⇒a2+2a=2a+3⇔a2=3⇔a=±3

Do u1=1>0,un+1=2un+3un+2>0  ∀n∈ℕ* nêna>0⇒a=3

Vậy limun=3.

Ví dụ 2: tìm lim un biết (un) có số lượng giới hạn hữu hạn và un:u1=2un+1=2+un,  n∈ℕ*.

Lời giải

Vìu1=2>0; un+1=2+un>0

Giả sử lim un = a (a > 0), lúc đó lim un+1 = a

Suy ra a=2+a⇔a2=a+2

⇔a2−a−2=0⇔a=−1   (Loại)a=2  

Vậy lim un = 2.

Dạng 8: số lượng giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn

Phương pháp giải:

* Rút gọn gàng (un) (sử dụng tổng cấp số cộng, cung cấp số nhân hoặc phương pháp làm trội)

* Rồi search lim un theo định lí hoặc cần sử dụng nguyên lí định lí kẹp.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a

Hệ quả: mang đến hai hàng số (un) và (vn): ví như un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)lim11.3+13.5+...+12n−12n+1

b)lim1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1

Lời giải

*

b)L=lim1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1

Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là 1 trong những dãy số thuộc hạ số cộng gồm n số hạng với u1 = 1 và d = 1.

Tổng n số hạng của cung cấp số cộng:Sn=u1+unn2=1+nn2.

Xét chủng loại số: Ta thấy 1; 3; 32; 33; …; 3n là một dãy số thuộc cấp số nhân tất cả (n+1) số hạng với u1 = 1 cùng q = 3.

Tổng (n + 1) số hạng của cấp số nhân:Sn+1=u1.1−qn+11−q=1−3n+11−3=3n+1−12.

Khi đó:L=lim1+nn23n+1−12.(n+1)=limn3n+1−1

Vì n3n+1−1=n3.3n−1n3n2n3n=23n vàlim23n=0

NênL=limn3n+1−1=0

(Bằng quy hấp thụ ta luôn luôn có n2n, ∀n∈ℕ*và 3n>1, ∀n∈ℕ*⇒3n+1−3n=2.3n>2>1⇒3n+1−1>3n).

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn sau:lim12⋅34⋅56⋅⋅⋅2n−12n

Lời giải

*

*

Dạng 9: Tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải:

Tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn là:S=u1+u1q+u1q2+....=u11−q   q1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

a)S=1+12+14+18+…

b)S=1+0,9+0,92+0,93+…

Lời giải

a) S=1+12+14+18+…là tổng cấp số nhân lùi vô hạn cùng với u1 = 1 với q=12.

Nên S=1+12+14+18+…=11−12=2.

b) S=1+0,9+0,92+0,93+…là cung cấp số nhân lùi vô hạn cùng với u1 = 1 và q = 0,9.

Nên S=1+0,9+0,92+0,93+…=11−0,9=10.

Ví dụ 2: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:

a) a = 0,32111...

b) b = 2,151515...

Lời giải

a) Ta cóa=0,32111...=32100+1103+1104+1105+...

Vì 1103+1104+1105+... Là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1=1103vàq=110

Nên b=32100+11031−110=289900.

b) Ta cób=2,151515...=2+15100+151002+151003+...

Vì 15100+151002+151003+... Là tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn cùng với u1=15100vàq=1100

Nên b=2+151001−1100=7133.

3. Bài bác tập từ luyện

Câu 1. trong số mệnh đề sau, mệnh đề như thế nào là mệnh đề sai?

A. Lim1n3=0.

B. Lim−1nn2=0.

C. Lim1n3=−1.

D. Lim1n=0.

Câu 2. hàng số nào dưới đây có số lượng giới hạn bằng 0?

A. 43n.

B. −43n.

C. −53n.

D. 13n.

Câu 3. hàng số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. Limn2−2n5n+5n2.

B. Lim1−2n5n+5.

C. Lim1−2n25n+5.

D. Lim1−2n5n+5n2.

Xem thêm: 3 Mẫu Tóm Tắt Truyện Tấm Cám Theo Nhân Vật Tấm Ngắn Gọn Nhất

Câu 4. Tính giới hạn limsinn!n2+1bằng

A. 0.

B. 1.

C. +∞.

D. 2.

Câu 5. cho dãy số (un) với un=1+3+5+...+2n−13n2+4. Lúc đó lim un bằng

A. 13.

B. 0.

C. 23.

D. 1.

Câu 6. mang lại dãy số (un) cùng với un=11.2+12.3+....+1nn+1. Khi ấy lim un bằng

A. 2.

B. 1.

C. 32.

D. Không có giới hạn.

Câu 7. Tính limn−8n3+3n+23bằng:

A. +∞.

B. -∞.

C. -1.

D. 0.

Câu 8. Tính limn+4n2−n33bằng:

A. -43.

B. +∞.

C. 43.

D. -4.

Câu 9. Tính lim3n−2.5n7+3.5nbằng:

A. 23.

B. -16.

C. 17.

D. -23.

Câu 10. trong bốn giới hạn sau đây, số lượng giới hạn nào là 0?

A. Lim2n+31−2n.

B. Lim2n+1n−32n−2n3.

C. Lim1−2n2n2+2n.

D. Lim2n+13.2n−3n.

Xem thêm: Chuyên Bán Tấm Nhựa Pvc Foam Tphcm, Tấm Nhựa Pvc Foam

Câu 11. mang đến dãy số (un) được xác định bởi u1=1, un+1=22un+1un+3với mọi n≥1. Biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, lim un bằng: