ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

  -  

Trong quy trình học tập môn Toán trong chương trình phổ thông, những em vẫn khá thân quen với các cách thức tính diện tích với thể tích của một đối tượng bằng phương pháp xác định những yếu tố tương quan đến đối tượng người sử dụng như độ lâu năm cạnh, số đo góc,....Sau khi tìm hiểu khái niệm Tích phân các em sẽ tiến hành tiếp cận một cách thức mới nhằm tính diện tích hình phẳng, thể tích của vật thể, thể tích khối tròn xoay chỉ trải qua các hàm số là Ứng dụng tích phân.

Bạn đang xem: ứng dụng của tích phân trong hình học


1. đoạn phim bài giảng

2. Bắt tắt lý thuyết

2.1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

2.2. Ứng dụng tích phân tính thể tích đồ vật thể

2.3. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

3. Bài bác tập minh hoạ

4. Rèn luyện Bài 3 Chương 3 Toán 12

4.1. Trắc nghiệm

4.2. Bài xích tập SGK

5. Hỏi đáp về bài xích 3 Chương 3 Toán 12


Nếu hàm số (y=f(x))liên tục trên ()thì diện tích s S của hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai tuyến phố thẳng (x=a,x=b)là (S = intlimits_a^b f(x) ight .)

*

Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đồ thị hàm số (y = f(x)), (y = g(x))và hai đường thẳng (x=a,x=b)là:(S = intlimits_a^b dx)

*


Thể tích đồ gia dụng thể B số lượng giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc cùng với trục Ox tại những điểm (a,b)là (V = intlimits_a^b S(x)dx.)Trong kia S(x) là diện tích thiết diện của đồ dùng thể bị cắt vày mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm bao gồm hoành độ là (x in left< a;,b ight>)và S(x) là 1 trong những hàm liên tục.

*


Hàm số (y=f(x))liên tục cùng không âm trên (.)Hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai đường thẳng (x=a,x=b)quay quanh trục hoành làm cho một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi bí quyết (V = pi intlimits_a^b f^2(x)dx .)

*

Cho nhị hàm số(y=f(x)), (y=g(x))thỏa (0leq g(x)leq f(x)), tiếp tục và không âm trên(.)Hình phẳng giới hạn bởi vật thị hàm số(y=f(x)), (y=g(x))và hai đường thẳng(x=a,x=b)quay xung quanh trục hoành khiến cho một khối tròn xoay. Thể tích V được xem bởi công thức(V = pi intlimits_a^b left< f^2(x) - g^2(x) ight>dx.)Cho hai hàm số hình phẳng số lượng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số (y=f(x))và(y=g(x))​ quay quanh trục hoành hoành khiến cho một khối tròn xoay. Để tính được thể tích khối tròn luân chuyển ta thực hiện các bước:Giải phương trình(f(x) = g(x) Leftrightarrow left< eginarrayl x = a\ x = b endarray ight.)(Thường dạng bài này đề bài xích cho phương trình hoành độ giao điểm bao gồm hai nghiệm phân biệt).Giải sử(0leq g(x)leq f(x))với đa số x thuộc(.)Khi đó:(V = pi intlimits_a^b left< f^2(x) - g^2(x) ight>dx.)Hình phẳng giới hạn bởi thứ thị hàm số (x = g(y)), trục tung và hai tuyến phố thẳng (y = c,,y = d)quay xung quanh trục tung khiến cho một khối tròn xoay. Thể tích V được xem bởi công thức(V = pi intlimits_c^d g^2(y)dy.)

Tính diện tíchtích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong(y = x^3,)trục hoànhvà hai tuyến phố thẳng (x = - 1,x = 2.)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong(y = x^3)và trục hoành:

Diện tích hình phẳng đề nghị tính:

(S = intlimits_ - 1^0 x^3 ight)(= left. - fracx^44 ight|_ - 1^0 + left. fracx^44 ight|_0^2 = frac174)

Ví dụ 2:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số(y = left( e + 1 ight)x)và(y=(1+e^x)x.)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:(left( e + 1 ight)x = left( 1 + e^x ight)x Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ e^x = e endarray ight. Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ x = 1 endarray ight.)

Nhận xét, với (x in left< 0;1 ight>)thì hiệu số (left( 1 + e^x ight)x - left( e + 1 ight)x = xleft( e^x - e ight) > 0.)

Khi đó, diện tích hình phẳng phải tìm là (S = intlimits_0^1 left dx = intlimits_0^1 dx = intlimits_0^1 xleft( e^x - e ight) dx)

Đặt (left{ {eginarray*20c u = x\ dv = left( e - e^x ight)dx endarray Rightarrow left eginarray*20c du = dx\ v = ex - e^x endarray ight. ight.)

( _0^1 ight. - intlimits_0^1 left( ex - e^x ight)dx )(= left( - fracex^22 + e^x ight)left| eginarray*20c 1\ 0 endarray ight. = frace - 22.)

Ví dụ 3:

Tính thể tích của phần vật dụng thể giới hạn bởi nhị mặt phẳng (x=0)và (x=3), có thiết diện bị cắt vì mặt phẳng vuông góc với trục (Ox)tại điểm có hoành độ (xleft( 0 le x le 3 ight))là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng (x)và (2sqrt 9 - x^2.)

Lời giải:

Diện tích của hình chữ nhật bao gồm hai cạnh là (x;2sqrt 9 - x^2)là (2xsqrt 9 - x^2)

Khi đó, thể tích của trang bị thể được khẳng định bằng công thức (V = intlimits_0^3 2xsqrt 9 - x^2 dx)

Đặt (t = sqrt 9 - x^2 Leftrightarrow t^2 = 9 - x^2 Leftrightarrow xdx = - tdt)và (left{ eginarray*20c x = 0 Rightarrow t = 3\ x = 3 Rightarrow t = 0 endarray ight.)

Suy ra (V = - 2intlimits_3^0 t^2dt = frac2t^33left| eginarray*20c 3\ 0 endarray ight. = 18.)

Ví dụ 4:

Tính thể tích khối tròn xoay chế tạo thành khi cho hình phẳnggiới hạn vì chưng đồ thị hàm số (y = 2x - x^2)và (y = x)quay quanh trục Ox.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ dùng thị hàm số(y = 2x - x^2) và mặt đường thẳng(y=x)là (2x - x^2 = x Leftrightarrow x^2 - x = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ x = 1 endarray ight.)

Khi đó, thể tích khối tròn xoay phải tìm là (V = pi intlimits_0^1 dx = pi intlimits_0^1 left)

(Rightarrow V = left| pi intlimits_0^1 left( x^4 - 4x^3 + 3x^2 ight)dx ight| = pi left| eginarray*20c 1\ 0 endarray ight. ight| = fracpi 5.)


Trong quá trình học tập môn Toán trong lịch trình phổ thông, những em vẫn khá thân thuộc với các cách thức tínhdiện tích và thể tíchcủa một đối tượng bằng cách xác định những yếu tố tương quan đến đối tượng người sử dụng như độ lâu năm cạnh, số đo góc,....Sau khi mày mò khái niệmTích phâncác em sẽ được tiếp cận một cách thức mới để tínhdiện tích hình phẳng,thể tích của vật thể,thể tích khối tròn xoaychỉ thông qua các hàm số làỨng dụng tích phân.


Để củng cố bài học xin mời những em thuộc làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 bài 3 để khám nghiệm xem mình đã nắm được nội dung bài học kinh nghiệm hay chưa.

Xem thêm: 91 Động Từ Bất Quy Tắc Thông Dụng Nhất 2021, Bảng Các Động Từ Bất Quy Tắc Trong Tiếng Anh


Câu 1:Cho vật thị hàm số y = f(x). Xác minh công thức tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) vào hình.


A.(S = intlimits_ - 2^3 fleft( x ight)dx)B.(S = intlimits_0^ - 2 fleft( x ight)dx + intlimits_2^3 fleft( x ight)dx)C.(S = intlimits_ - 2^0 fleft( x ight)dx + intlimits_3^0 fleft( x ight)dx)D.(S = intlimits_ - 2^0 fleft( x ight)dx + intlimits_0^3 fleft( x ight)dx)

Câu 2:

Tính diện tích S của hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hàm số (y = x^4 - 5x^2 + 4), trục hoành và hai đường thẳng(x = 0;x = 1).


Câu 3:

Tính diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị hàm số(y = x^3 - x)và trang bị thị hàm số(y = x^2 - x.)


A.(S = frac116)B.(S = frac112)C.(S = frac18)D.(S = frac14)

Câu 4-10:Mời những em singin xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và kỹ năng và nắm rõ hơn về bài học kinh nghiệm này nhé!


Bên cạnh đó các em có thể xem phần lí giải Giải bài tập Toán 12 Chương 3 bài bác 3sẽ giúp các em núm được các phương pháp giải bài tập trường đoản cú SGKGiải tích 12Cơ phiên bản và Nâng cao.

Xem thêm: Tân Cương Thi Trung Quốc - Tại Sao Cương Thi Thường Mặc Quan Phục Nhà Thanh

bài tập 1 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 2 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 3 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 4 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 5 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 26 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 27 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài tập 28 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 29 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài tập 30 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 31 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 32 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 33 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 34 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 35 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 36 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 37 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 38 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài tập 39 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài tập 40 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 3.31 trang 178 SBT Toán 12

bài xích tập 3.32 trang 178 SBT Toán 12

bài bác tập 3.33 trang 178 SBT Toán 12

bài bác tập 3.34 trang 178 SBT Toán 12

bài bác tập 3.35 trang 178 SBT Toán 12

bài bác tập 3.36 trang 179 SBT Toán 12

bài tập 3.37 trang 179 SBT Toán 12

bài tập 3.38 trang 179 SBT Toán 12

bài tập 3.39 trang 180 SBT Toán 12

bài bác tập 3.40 trang 180 SBT Toán 12

bài xích tập 3.41 trang 180 SBT Toán 12

bài bác tập 3.42 trang 480 SBT Toán 12


Nếu có thắc mắc cần giải đáp những em hoàn toàn có thể để lại câu hỏi trong phầnHỏiđáp, cộng đồng Toán HỌC247 đã sớm vấn đáp cho những em.