Bài tập tứ giác nội tiếp

  -  

Hãy cùng NDTLS giải không còn 101 bài tập tứ giác nội tiếp. Kiến thức hình học của các bạn sẽ được củng cố tương đối nhiều để từ tin lao vào kì thi học tập sinh giỏi cấp tỉnh tương tự như chuyên toán. Hãy tham khảo với vanphongphamsg.vn nhé.

Bạn đang xem: Bài tập tứ giác nội tiếp

Video bài xích tập về tứ giác nội tiếp


Bài tập chứng tỏ tứ giác nội tiếp PDF

Các vấn đề về chứng tỏ tứ giác nội tiếp

Bài số 1:

Cho ABC vuông sinh sống A. Trên AC đem điểm M với vẽ con đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường trực tiếp DA cắt Đường tròn tại S. Minh chứng rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp.

b) nhị góc ABD và ACD bằng nhau

c) CA là phân giác của góc SCB

Hướng dẫn giải:

*
*
*
mang lại tam giác ABC vuông trên A với điểm D nằm giữa A với B. Đường tròn đường kính BD cắt BC trên E. Những - Tự học 365" />
*

a) bốn điểm A, B, H, E thuộc nằm trên tuyến đường tròn trung khu N (dễ nhé)

HE // CD (Vì Góc FCB = góc EBC cùng bằng góc HAO)

b) ABHE nội tiếp => góc EHC = góc BAE mà lại góc BAE = góc BCD yêu cầu góc EHC = góc BCD

=> HE // CD

Mà AC vuông góc cùng với CD yêu cầu HE vuôn góc cùng với AC, lại sở hữu MN //AC vậy MN vuông góc với HE

Ta chứng tỏ được EN = hn (cùng bằng nửa AB). Tam giác HNE cân nặng tại N, NM là đường cao buộc phải cũng là con đường trung trực => ME = MH (1)

Ta cũng chứng minh được HF // BD (vì AHFC nội tiếp => góc CHF =góc FAC = góc CBD)

Gọi I là trung điểm của AC. Minh chứng tương từ bỏ ta bao gồm IM //AB phải vuôn góc cùng với BD cùng HF,

Tam giác HIF cân tại I. Im là mặt đường trung trực của HF => MH = MF (2)

(1),(2) => đpcm

Bài số 11 (Theo yêu cầu của công ty Thảo Chi)

a) SAOB, SAEO nội tiếp => 5 điểm S, A, E, O, B thuộc thuộc một con đường tròn

b) giả dụ SA = AO thì tam giác SAO, SBO vuông cân nặng tại A cùng B => SAOB là hình vuông.

c) chứng tỏ hai tam giác SAC cùng SDA đồng dạng => AC/DA = SA/SD (1)

Chứng minh nhị tam giác SBC với SDB đồng dạng => BD/BC = SD/SB (2)

Nhân vế với vế (1) cùng (2) ta gồm (AC.BD)(DA.BC) = 1 => AC.BD = BC.DA (*)

Chứng minh nhì tam giác đồng dạng ACE cùng ABD (góc ACE = Góc ABD, góc AEC = góc ADB cùng bởi góc ABS) => AC/AB = CE/BD => AC.BD = AB.CE (3)

Chứng minh nhị tam giác ngân hàng á châu acb và AED đồng dạng (g-g) => CB/ED = AB/AD

=>CB.AD = AB.ED (4)

Từ (3),(4) => AC.BD + CB.AD = AB(CE + ED) = AB.CD (**)

Từ (*) với (**) => AC.BD = BC.DA = AB.CD/2

Bài tập 12 (Bạn trangks2004 hỏi)

Cho nửa đường tròn (O; R) 2 lần bán kính AB. Kẻ tiếp tuyến đường Bx và lấy nhì điểm C với D ở trong nửa đường tròn. Những tia AC với AD giảm Bx lần lượt ngơi nghỉ E, F (F trọng tâm B với E).

a) chứng tỏ AC. AE không đổi.

b) chứng minh góc ABD = góc DFB

c) chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.

a) Tam giác ABE vuông tại B, con đường cao BC => AC.AE = AB2 ko đổi.

b) góc ABD = góc DFB (1) bởi cùng phụ với góc DBF

c) ACDB nội tiếp => góc ABD = góc DCE (2)

từ (1) cùng (2) => góc DFB = góc DCE => CEFD là tứ giác nội tiếp.

Bài tập 13 (Theo đề nghị của chúng ta Quý)

Trên mặt đường thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo đồ vật tự đó. Bên trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc cùng với d. Trên tia Ax đem I. Tia vuông góc với CI trên C giảm đường trực tiếp By tại K. Đường tròn đường kính IC giảm IK trên P.

a) chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp được con đường tròn .

b) minh chứng AI.BK = AC.CB

a) nhì góc KPC và KBC vuông => CBPK nội tiếp được đường tròn .

b) chứng minh hai tam giác IAC cùng CBK đồng dạng (g-g) => AC/BK = IA/BC => AC.BC = IA.BK

Bài số 14: (Theo yêu cầu của công ty Linh Le)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, vẽ đường tròn đường kính AH, đường tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F.

a) chứng minh AEHF là hình chữ nhật.

b) hội chứng minh: BEFC là tứ giác nội tiếp .

c) bệnh minh: AB.AE = AC.AF

d) gọi M là là giao điểm của CE cùng BF. Hãy so sánh diện tích s của tứ giác AEMF và ăn diện tích của tam giác BMC.

a) b) dễ

c) chứng minh AB.AE = AH2 = AC.AF

d) Ta sẽ so sánh diện tích s 2 tam giác ABF với BEC

Gọi diện tích s tam giác ABC là S. Ta có:

S(ABF)/S = AF/AC

S(BEC)/S = BE/AB

Hai tam giác BEH và BAC đồng dạng => BE/AB = EH/AC => BE.AC = AB.EH

=> BE.AC = AB.AF => AF/AC = BE/AB

Vậy S(ABF) = S(BEC) => S(AEMF) = S(BMC)

Bài số 18: (Theo yêu thương cầu của người tiêu dùng Kuju)

Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp con đường d với (O). Trên phố thẳng d rước điểm M bất kỳ ( M khác A) kẻ cat tuyến MNP và hotline K là trung điểm của NP, kẻ tiếp con đường MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC vg MB, BD vg MA, điện thoại tư vấn H là giao điểm của AC cùng BD, I là giao điểm của OM với AB.

a) chứng tỏ tứ giác AMBO nội tiếp.

Xem thêm: Trung Quốc Ăn Thịt Người Cô Gái

b) chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .

c) chứng tỏ OM = R2; OI. Yên = IA2.

d) chứng tỏ OAHB là hình thoi.

e) minh chứng ba điểm O, H, M thẳng hàng.

f) search quỹ tích của điểm H lúc M di chuyển trên con đường thẳng d.

Hướng dẫn:

a) hai góc OAM cùng OBM vuông => AMBO nội tiếp.

b) AMBO với OKMB nội tiếp=> năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một con đường tròn

c) chứng minh M, H, I, O thẳng hàng và MI vuông góc với AB (vì OM cùng MH thuộc vuông với AB) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM, mặt đường cao AI là ra.

d) AH//OB (cùng vuông cùng với BM), AO//BH (cùng vuông cùng với AM), OA = OB => OAHB là hình thoi.

e) Đã làm ở câu c

f) đem O’ đối xứng cùng với O qua A. Ta chứng tỏ được góc OHO’ = 90 độ. OO’ nuốm định

=> quỹ tích của điểm H lúc M dịch chuyển trên mặt đường thẳng d là đường tròn (A; AO)

Bài tập 19 (Theo yêu cầu của người sử dụng Hà Trang)

Cho 3 điểm A; B; C thắt chặt và cố định thẳng hàng theo vật dụng tự. Vẽ đường tròn (O) bất kỳ đi qua B và C (BC không là 2 lần bán kính của (O)). Kẻ những tiếp tuyến AE và AF cùng với (O) (E; F là các tiếp điểm). Hotline I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Triệu chứng minh:

a) AE2 = AB.AC

b) Tứ giác AEOF nội tiếp

c) Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một con đường tròn.

d) ED tuy vậy song cùng với AC.

e) lúc (O) thay đổi tâm mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác OIK luôn thuộc một con đường thẳng thay định.

Câu a,b,c cơ bản

d) Ta chứng tỏ được góc EDF = góc AEF = góc AIF => ED //AC

e) gọi J là giao điểm của EF với AC, ta gồm OKJI nội tiếp bắt buộc đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK chính là đường tròn nước ngoài tiếp tứ giác OKJI. Khi O thay đổi thì OK,OI, KJ chỉ gồm IJ ko đổi vày EF, AC không thay đổi => trọng điểm đường tròn nước ngoài tiếp tứ giác OKJI luôn luôn nằm trên đường trung trực cố định của IJ.

Chuyên đề tứ giác nội tiếp

Để chứng tỏ tứ giác nội tiếp được vào một con đường tròn ta phải áp dụng linh hoạt các dấu hiệu nhận ra tứ giác nội tiếp, dưới đấy là các phương pháp chứng minh cơ bản.

Phương pháp 1:

Sử dụng tính chất: nếu như tổng số đo hai góc đối diện của một tứ giác nội tiếp bởi 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được vào một mặt đường tròn.

Phương pháp 2:

Nếu tứ giác gồm một góc kế bên tại một đỉnh bằng góc vào của đỉnh đối lập thì tứ giác đó nội tiếp được vào một mặt đường tròn (Phương pháp này có thể coi như là hệ quả của phương pháp 1)

Phương pháp 3:

Nếu tứ giác tất cả hai đỉnh kề nhau cùng quan sát đoạn thẳng nối nhị đỉnh sót lại dưới một góc thì tứ giác kia nội tiếp được vào một mặt đường tròn.

Phương pháp 4:

Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác biện pháp đều 1 điểm cố định.

Xem thêm: Phim Conan Thám Tử Lừng Danh Conan Tập 7 Vietsub, Phim Conan Thám Tử Lừng Danh Tập 1006

Nhận xét:

Đối với vấn đề trên ta rất có thể hoàn toàn chứng minh theo các phương thức khác. Chú ý chung, trường hợp ta chứng minh được một tứ giác nội tiếp bằng cách thức này thì cũng đều có thể minh chứng được bằng phương pháp kia, điều đặc trưng là đề xuất hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp nào ngắn gọn, dễ dàng nắm bắt nhất.

Qua những Bài tập chủng loại về minh chứng tứ giác nội tiếp nghỉ ngơi trên ta thấy trong không hề ít trường thích hợp tứ giác cần chứng tỏ nội tiếp thuộc một trong hai dạng sau đây: