Bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8

     

Vận dụng 7 hằng đẳng thức kỷ niệm nhằm giải các dạng bài xích tập là một trong giữa những câu chữ kỹ năng quan trọng không chỉ vào chương trình lớp 8 nhưng mà chúng còn được sử dụng tiếp tục nghỉ ngơi những lớp học tập về sau.

Bạn đang xem: Bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8


Hiểu được điều này, nội dung bài viết này đã hệ thống lại các dạng bài tập vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ thuộc các ví dụ rõ ràng để các em có thể nắm rõ kỹ năng về những hằng đẳng thức, rèn luyện được kỹ năng trở thành đổi 7 hằng đẳng thức một cách linh hoạt trong các dạng tân oán.

I. Kiến thức buộc phải nhớ về 7 hằng đẳng thức

1. Bình phương của một tổng

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

* lấy một ví dụ Bài 16 trang 11 sgk tân oán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu

a) x2 + 2x + 1 = (x)2 + 2.(x).(1) + (1)2 = (x+1)2

b) 9x2 + y2 + 6xy = 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.(3x).(y) + (y)2 = (3x+y)2

2. Bình phương của một hiệu

(A – B)2 = A2 – 2AB + B2

* lấy ví dụ như Bài 16 trang 11 sgk tân oán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của một tổng hoặc 1 hiệu

c) 25a2 + 4b2 - 20ab = 25a2 - 20ab + 4b2 = (5a)2 - 2.(5a).(2b) + (2b)2 = (5a+2b)2

d)

*
*
*

3. Hiệu nhị bình phương

A2 – B2 = (A – B)(A + B)

* Ví dụ: Viết bên dưới dạng tích biểu thức: 4x2 - 9

* Lời giải:

- Ta có: 4x2 - 9 = (2x)2 - (3)2 = (2x-3)(2x+3)

4. Lập pmùi hương của một tổng

 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

* ví dụ như Bài 26 trang 14 sgk tân oán 8 tập 1: Tính

a) (2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

5. Lập phương của một hiệu

 (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3

* lấy ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán thù 8 tập 1: Tính

b) 

*
*
*

6. Tổng hai lập phương

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

* Ví dụ: Viết bên dưới dạng tích x3 + 64

 x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)

7. Hiệu nhì lập phương

A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

* Ví dụ: Viết bên dưới dạng tích 8x3 - y3

 8x3 - y3 = (2x)3 - y3 = (2x-y)<(2x)2 - (2x).y + y2> = (2x-y)(4x2 + 2xy + y2)

* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3

II. Các dạng toán thù áp dụng 7 hằng đẳng thức

• Dạng 1 : Tính cực hiếm của biểu thức

Ví dụ: Tính quý giá của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1

* Lời giải.

- Ta gồm : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

- Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9

⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

• Dạng 2 : Chứng minch biểu thức A không nhờ vào vào biến

 Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau ko phụ thuộc vào vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

* Lời giải.

- Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số ko dựa vào vào trở thành x.

• Dạng 3 : Tìm quý hiếm nhỏ độc nhất của biểu thức

 Ví dụ: Tính quý giá bé dại duy nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

- Ta tất cả : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

- Vì (x – 1)2 ≥ 0 với đa số x.

⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 tuyệt A ≥ 4

- Vậy quý hiếm bé dại duy nhất của A = 4, Dấu "=" xẩy ra khi : x – 1 = 0 giỏi x = 1

⇒ Kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

• Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2

* Lời giải:

- Ta gồm : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

- Vì (x – 2)2 ≥ 0 với đa số x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x

 ⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4

 ⇔ A ≤ 4 Dấu "=" xảy ra khi : x – 2 = 0 giỏi x = 2

⇒ kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

• Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bằng nhau

 Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

* Lời giải:

- Đối với dạng toán này họ đổi khác VT = VPhường hoặc VT = A và VP = A

- Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VPhường (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

• Dạng 6 : Chứng minc bất đẳng thức

- Biến thay đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó cần sử dụng các phnghiền biến hóa gửi A về một trong 7 hằng đẳng thức.

 lấy ví dụ như 1: Chứng minch biểu thức A thừa nhận quý giá dương với mọi cực hiếm của biến, biết: A = x2 - x + 1

* Lời giải: 

- Ta có: 

*
*
*

- Vì

*
 nên 
*

lấy ví dụ 2: Chứng minc biểu thức B dấn quý giá âm với tất cả giá trị của thay đổi x, biết: B = (2-x)(x-4)-2 

* Lời giải: 

- Ta có: B = (2-x)(x-4) - 1 = 2x - 8 - x2 + 4x - 2 = -x2 + 6x - 9 - 1 = -(x2 - 6x + 9) - 1 = -(x-3)2 - 1

- Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 - 1 ≤ -1 • Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử


 lấy ví dụ 1: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2

* Lời giải:

- Ta có : A = x2 – 4x + 4 – y2

= (x2 – 4x + 4) – y2

= (x – 2)2 – y2

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

 Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x

 = x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

 ví dụ như 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x 2 – 2xy – x + 2y

= (x 2– x) + (2y – 2xy)

= x(x – 1) – 2y(x – 1)

= (x – 1)(x – 2y)

 lấy ví dụ 4:  Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 – 5x + 6

= x2 – 2x – 3x + 6

= x(x – 2) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x – 3)

• Dạng 8: Tìm quý giá của x

 Ví dụ: Tìm quý giá củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

* Lời giải.

 x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ tóm lại, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

• Dạng 9 : Thực hiện tại phnghiền tính phân thức

 Ví dụ: Tính quý hiếm của phân thức  tại x = –1

* Lời giải:

- Ta gồm :

*
*

- Lúc x = -1 :

*
*

⇒ Tóm lại, vậy: I = 1/2 tại x = -1 .

Xem thm: 100 Câu Bài Tập Phát Âm S Es Có Đáp Án, Cách Phát Âm S, Es, Ed Và Bài Tập Có Đáp Án

III. Những bài tập vận dụng 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ

Bài 17 trang 11 SGK tân oán 8 tập 1: Chứng minch rằng: (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25

Từ đó em hãy nêu phương pháp tính nhđộ ẩm bình phương thơm của một số trong những tự nhiên gồm tận thuộc bằng văn bản số 5.

Áp dụng để tính: 252; 352; 652; 752

* Lời giải Bài 17 trang 11 SGK tân oán 8 tập 1: 

- Ta có: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25

- Đặt A = a(a + 1). Lúc kia ta có:

*
 
*
 
*

- Do vậy, để tính bình phương của một vài thoải mái và tự nhiên bao gồm dạng

*
 , ta chỉ cần tính tích a.(a + 1) rồi viết 25 vào đằng sau công dụng vừa kiếm được.

* Áp dụng:

 252 = 625 (Vì 2.3 = 6)

 352 = 1225 (Vì 3.4 = 12)

 652 = 4225 (Vì 6.7 = 42)

 752 = 5625 (Vì 7.8 = 56)

Bài 18 trang 11 SGK tân oán 8 tập 1: Hãy search phương pháp giúp đỡ bạn An phục sinh lại hầu hết hằng đẵng thức bị mực làm nhòe đi một trong những chỗ:

 a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2

 b) ... - 10xy + 25y2 = ( ... - ...)2

Hãy nêu một đề bài xích giống như.

* Lời giải bài bác 18 trang 11 SGK toán thù 8 tập 1: 

a) Dễ dàng nhận thấy đây là hằng đẳng thức (A+B)2 với:

 A = x ; 2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.

- Vậy ta bao gồm hằng đẳng thức: x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2 xuất xắc x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2

b) Nhận thấy đó là hằng đẳng thức (A-B)2 với:

 B2 = 25y2 = (5y)2 ⇒ B = 5y ; 2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x.

- Vậy ta bao gồm hằng đẳng thức : x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2

c) Đề bài xích tương tự:

 9x2 + 12xy + ... = (... + 4y2)

 ... – 4xy + y2 = ( ... – ...)2

Bài 28 trang 14 SGK tân oán 8 tập 1: Tính quý giá của biểu thức:

a) x3 + 12x2 + 48x + 64 tại x = 6

b) x3 – 6x2 + 12x – 8 tại x = 22

* Lời giải bài xích 28 trang 14 SGK tân oán 8 tập 1:

a) x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 = (x + 4)3

- Tại x = 6, quý hiếm biểu thức là: (6 + 4)3 = 103 = 1000.

b) x3 – 6x2 + 12x – 8 = x3 – 3.x2.2 + 3.x.22 – 23 = (x – 2)3

- Tại x = 22, cực hiếm biểu thức là: (22 – 2)3 = 203 = 8000.

Bài 30 trang 16 SGK tân oán 8 tập 1: Rút ít gọn những biểu thức sau:

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

* Lời giải bài 30 trang 16 SGK toán thù 8 tập 1:

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

 

 = (x3 + 33) – (54 + x3)

 = x3 + 27 – 54 – x3

 = –27

b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

 

= (2x + y)<(2x)2 – 2x.y + y2> – (2x – y)<(2x)2 + 2x.y + y2>

= <(2x)3 + y3> – <(2x)3 – y3>

= (2x)3 + y3 – (2x)3 + y3

= 2y3

Bài 31 trang 16 SGK toán 8 tập 1: Chứng minch rằng:

a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Áp dụng: Tính a3 + b3, biết a.b = 6 và a + b = -5

* Lời giải bài 31 trang 16 SGK toán 8 tập 1:

a) Biến thay đổi vế đề xuất ta được:

VPhường = (a + b)3 – 3ab(a + b)

 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2

 = a3 + b3 = VT

- Kết luận, vậy: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) Biến thay đổi vế đề xuất ta được:

VPhường. = (a – b)3 + 3ab(a – b)

 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + 3a2b – 3ab2

 = a3 – b3 = VT

- Tóm lại, vậy: a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

* Áp dụng: Với ab = 6, a + b = –5, ta có: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

 = (–5)3 – 3.6.(–5) = –53 + 3.6.5 = –125 + 90 = –35

Bài 34 trang 17 SGK tân oán 8 tập 1: Rút gọn gàng các biểu thức sau:

a) (a + b)2 – (a – b)2

b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

c) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2

* Lời giải bài xích 34 trang 17 SGK toán thù 8 tập 1:

a) (a + b)2 – (a – b)2

♦ Cách 1: <Áp dụng HĐT A2 - B2 cùng với A = a + b; B = a – b>

= <(a + b) – (a – b)>.<(a + b) + (a – b)>

= 2b.2a = 4ab

♦ Cách 2: <Áp dụng (A+B)2 cùng (A-B)2

= a2 + 2ab + b2 - (a2 - 2ab + b2)

= a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2

= 4ab

b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) – 2b3 

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3 – 2b3

= (a3 – a3) + (3a2b + 3a2b) + (3ab2 – 3ab2) + (b3 + b3 – 2b3)

= 6a2b

c) (x + y + z)2 – 2.(x + y + z).(x + y) + (x + y)2

 <áp dụng HĐT (A-B)2 cùng với A = x + y + z ; B = x + y)>

= <(x + y + z) – (x + y)>2 = z2.

Xem thêm: Sách Xuân Thu Chiến Quốc Pdf, Tài Liệu Xuân Thu Chiến Quốc Pdf

IV. Một số bài xích tập vận dụng 7 hàng đẳng thức luyện tập

các bài luyện tập 1: Viết những biểu thức sau bên dưới dạng bình phương thơm của 1 tổng hay là 1 hiệu:

a) 

*

b) 16x2 - 8x + 1

c) 4x2 +12xy +9y2

d) (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+1

Đ/S: a) (x+5/2)2 ; b) (4x-1)2 ; c) (2x+3y)2 ; d) (x2+9x+19)2

những bài tập 2: Viết những biểu thức sau dưới dạng lập phương thơm của một tổng hay một hiệu:

a) x3 + 3x2 + 3x +1

b) 27x3 - 9x2 + x - 1/27

c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3

d) (x+y)3(x-y)3

Đ/S: a) (x+1)3 ; b) 

*
 ; c) (2x2 + y)3 ; d) (x2-y2)3

các bài luyện tập 3: Rút gọn gàng biểu thức

a) A = (2x+3)2 -2(2x+3)(2x+5) + (2x+5)2

b) B = (x2+x+1)(x2-x+1)(x2-1)

c) C = (x+y-z)2 + (x-y+z)2 - 2(y-z)2

d) D = (x+y+z)2 + (x-y-z)2 - 2(y-z)2

Đ/S: a) A=4 ; b) B=x6-1 ; c) C=2x2 ; d) D=2(x2+4yz)

các bài tập luyện 4: Điền solo thức phù hợp vào dấu *

a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3

b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3

c) x3 - * + * - * = (* - 2y)3

Đ/S: a) (2x+3y)3 ; b) (2x+y)3 ; c) (x-2y)3

Những bài tập 5: minh chứng rằng với đa số quý giá của x ta có:

a) -x2 + 6x - 10 4 + 3x2 +3 > 0

các bài tập luyện 6: Cho a - b = m; a.b = n. Tính theo m, n cực hiếm biểu thức sau:

 1) A= (a + b)2

 2) B= a2 + b2

 3) C= a3 - b3

Đ/S: a) A = m2+ 4n ; b) B = m2 - 2n ; c) C = m(m2 + 3n)

các bài tập luyện 7: Tính quý hiếm của biểu thức bằng phương pháp áp dụng hằng đẳng thức

a) A = x3 + 3x2 + 3x + 6 với x = 29

b) B = x3 - 3x2 + 3x - 1 cùng với x = 21

Đ/S: A = 27005 ; B = 8000

các bài luyện tập 8: Chứng minch những biểu thức sau ko phụ thuộc vào vào x

a) (2x+3)(4x2-6x+9)-2(4x3-1)

b) (4x-1)3 - (4x-3)(16x2+3)

Hy vọng với nội dung bài viết hệ thống lại kiến thức về các dạng bài tập áp dụng 7 hằng đằng thức thuộc ví dụ cùng bài tập sống trên giúp ích cho những em. Mọi thắc mắc và góp ý những em sung sướng còn lại bình luận dưới nội dung bài viết nhằm vanphongphamsg.vn ghi thừa nhận cùng hỗ trợ, chúc những em học hành xuất sắc.


Chuyên mục: Giải bài tập